2019/6/7
「宜：高考」
還記得嗎？
你是哪一年參加高考的？
高考結(jié)束那天你做了什么？
那年高考卷子上都考了些什么？
... ...
如果給你一個(gè)時(shí)光機(jī)
你愿意回到那年
再參加一次高考嗎？
#當(dāng)年我高考#影像征集活動(dòng)
邀你一同回憶“滾燙的青春”
穿著校服，桌前落滿課本，奮筆疾書的時(shí)光
現(xiàn)在回憶起來(lái)是什么樣呢？
還記得和喜歡多年的同桌上同一所大學(xué)的約定？
還記得為提不上去的分?jǐn)?shù)焦慮到偷偷在宿舍抹淚？
還記得高考前夜緊張到失眠，然后徹夜通宵復(fù)習(xí)？
不管在當(dāng)時(shí)那些快樂(lè)的還是難過(guò)的
如今看來(lái)都是值得回憶的故事。
只要是青春歲月里留下的痕跡就都值得被記住。
來(lái)吧！
曬一曬你當(dāng)年的高考故事
你需要
錄制短視頻或簡(jiǎn)單曬圖
帶微博話題#當(dāng)年我高考#
發(fā)布于微博個(gè)人主頁(yè)
你的高考專屬記憶將有機(jī)會(huì)
于中國(guó)青年報(bào)三端發(fā)布
給你來(lái)一個(gè)地表最強(qiáng)打call！
報(bào)名方式
即日起至6月9日，通過(guò)新浪微博個(gè)人主頁(yè)發(fā)布相關(guān)主題短視頻或圖文，帶微博話題#當(dāng)年我高考#，附加文案介紹視頻/圖片故事，同時(shí)@中國(guó)青年報(bào) @中國(guó)高校傳媒聯(lián)盟 及 @三名好友。
報(bào)名還須將此推文轉(zhuǎn)發(fā)至朋友圈并附上你想說(shuō)的話，集齊6個(gè)“贊”截圖并提交至報(bào)名表；同時(shí)，將你所發(fā)布的微博及關(guān)鍵信息（含轉(zhuǎn)發(fā)量、評(píng)論量、點(diǎn)贊量）截圖并提交至報(bào)名表。
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視頻拍攝要求
建議尺寸1980*1080、橫屏拍攝，時(shí)長(zhǎng)控制在三分鐘內(nèi)。
以校門、標(biāo)志性建筑物、圖書館前臺(tái)階等校園場(chǎng)景為拍攝背景為佳。
吸引你的理由
主辦方將根據(jù)視頻質(zhì)量、圖片質(zhì)量、文字內(nèi)容、呈現(xiàn)形式及傳播影響力，評(píng)選出最優(yōu)秀的100份作品，作者將獲得由中國(guó)青年報(bào)社、中國(guó)高校傳媒聯(lián)盟聯(lián)合認(rèn)證的證書；同時(shí)還擁有中國(guó)青年報(bào)社優(yōu)先實(shí)習(xí)機(jī)會(huì)和中國(guó)高校傳媒聯(lián)盟舉辦的各項(xiàng)活動(dòng)優(yōu)先參與權(quán)。
又一年高考在即
參與#當(dāng)年我高考#微博話題互動(dòng)
曬出你的高考專屬記憶
等待我們pick會(huì)講故事的你
和喜愛(ài)的明星大咖一起
走進(jìn)這波學(xué)生時(shí)代“回憶殺”
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文案 | 程思
編輯 | 劉俞希
中國(guó)青年報(bào)·中青在線 出品
本文源自中國(guó)青年報(bào)客戶端。閱讀更多精彩資訊，請(qǐng)下載中國(guó)青年報(bào)客戶端（http://app.cyol.com）
作者：Frank Ding
編輯：QQ
在入門機(jī)器人視覺(jué)和機(jī)器人運(yùn)動(dòng)后，開始逐步接觸到了3D計(jì)算機(jī)視覺(jué)中的高階數(shù)學(xué)概念，包括三維物體到二維圖片的變換（術(shù)語(yǔ)稱之為射影幾何）；三維歐氏空間的物體運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系變換，分為主動(dòng)變換（active）和被動(dòng)變換（passive）；另外在更高階的計(jì)算機(jī)渲染中常會(huì)用到Mesh和黎曼曲面；此外，幾何深度學(xué)習(xí)（Geometric Deep Learning）中也涉及到群論，李群等。這些迷之概念使得我對(duì)于本科高等數(shù)學(xué)課程（多元微積分，線性代數(shù)，概率論）后面的純數(shù)學(xué)感到興趣。本來(lái)一直覺(jué)得純數(shù)學(xué)會(huì)非常難學(xué)，但是當(dāng)我寫了很多年代碼和閱讀了多個(gè)AI領(lǐng)域的眾多論文之后，總有一些本質(zhì)問(wèn)題縈繞在心，得不到解釋：
第一個(gè)問(wèn)題在范疇論（category theory）中廣泛探討，不過(guò)范疇論過(guò)于深?yuàn)W，是抽象代數(shù)后的一門純函數(shù)編程的理論基礎(chǔ)。第二個(gè)問(wèn)題在幾何深度學(xué)習(xí)中被探討。不過(guò)，這兩個(gè)問(wèn)題肯定不會(huì)被完全回答。即使無(wú)法得到最好的解釋和回答，對(duì)于這些根本問(wèn)題的探究的階段性成功也是非常有意義的。正如理查德·費(fèi)曼的名言：
I would rather have questions that can't be answered than answers that can't be questioned
為了讓AI從業(yè)人員乃至程序員能進(jìn)階掌握高階數(shù)學(xué)的武器，我斗膽總結(jié)一份從我這個(gè)非數(shù)學(xué)系的理工畢業(yè)生角度出發(fā)的自學(xué)純數(shù)學(xué)指南。以下所有課程視頻都已經(jīng)搬運(yùn)到了我的B站頻道MyEncyclopedia公號(hào)中，此外，視頻課程有對(duì)應(yīng)教材的也一并列出。
在學(xué)習(xí)這些知識(shí)時(shí)候，發(fā)現(xiàn)之間的聯(lián)系是非常廣泛的，這個(gè)倒是非常出乎我意料，也讓學(xué)習(xí)非常有成就感。以下總結(jié)了若干貫穿所有領(lǐng)域的重要概念。
學(xué)習(xí)順序
下圖為我推薦的課程學(xué)習(xí)順序。
當(dāng)對(duì)張量和李群掌握充分后，原則上可以更上一層樓，學(xué)習(xí)廣義相對(duì)論和量子力學(xué)。不過(guò)我并沒(méi)有計(jì)劃涉足這兩個(gè)艱深的領(lǐng)域，也就不多言了。
線性映射下的高等線性代數(shù)
https://www.bilibili.com/video/BV1Dm4y1c7Cn
本課程的教師是配套同名教材線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)（Linear Algebra Done Right）這本書的作者。課程和教材都是從線性映射(linear map)角度來(lái)看待矩陣。由最基本的向量空間和內(nèi)積空間定義出發(fā)導(dǎo)出對(duì)偶空間（Dual Space），特征值，特征根，對(duì)角矩陣，正交基，直到最核心的譜論（Spectral theorem）。此課程說(shuō)實(shí)話不適宜第一次學(xué)線性代數(shù)的同學(xué)。同時(shí)，不適合數(shù)學(xué)系的，因?yàn)楦叽啾忍珳\；不適合工程類的，因?yàn)樘疃覜](méi)有跟應(yīng)用聯(lián)系起來(lái)。但是，本書卻廣受贊譽(yù)，中文也有翻譯本。其最大的特點(diǎn)是通過(guò)空間變換和矩陣聯(lián)系起來(lái)，從最基本的定義導(dǎo)出矩陣中的最核心概念：特征值，特征根，對(duì)角矩陣，正交基等。
【Nathaniel Johnston】 Advanced Linear Algebra
https://www.bilibili.com/video/BV1uV4y157XE
課程關(guān)于線性映射背后的基變換等講述的非常清楚。不過(guò)對(duì)比Nathaniel Johnston的教材Advanced Linear Algebra and Matrix Algebra來(lái)說(shuō)，視頻課程只涉及到教材的一二章的內(nèi)容，但并沒(méi)有涉及到第三章Tensor的部分，有點(diǎn)可惜。視頻包含很多向量空間和線性映射的例子和證明，可以作為線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)的很好補(bǔ)充。同時(shí)推薦教材第三章Tensor，適合作為Tensor概念的入門理論學(xué)習(xí)。
https://www.bilibili.com/video/BV1Me4y1a7Uk
Matthew Macauley教授講課節(jié)奏條理都很贊，示例也比較充足，他的多個(gè)數(shù)學(xué)課程都很棒，尤其是下面群論部分的Visual Group Theory最為經(jīng)典。本課程可以作為上述兩門自成體系的課程很好的補(bǔ)充，尤其是Tensor作為multilinear map的部分。課程對(duì)應(yīng)教材為Peter Lax的經(jīng)典老教材線性代數(shù)及其應(yīng)用。
群論，抽象代數(shù)
https://www.bilibili.com/video/BV1ka411378X
課程基于Nathan Carter負(fù)有盛名的Visual Group Theory 這本非常非常棒的群論入門書。視頻課程本身在教材的基礎(chǔ)上補(bǔ)充了不少例子和定理證明，使抽象難以理解的群里嚴(yán)重降低了入門難度。我作為同時(shí)仔細(xì)看過(guò)視頻和教材的讀者，覺(jué)得視頻課程有以下幾個(gè)優(yōu)勢(shì)：首先是建立概念時(shí)一步一步帶你walk through，比如最核心的群同態(tài)概念，使得概念的建立更加深刻形象；其次課程補(bǔ)充了不少代數(shù)方法的嚴(yán)格證明，有的時(shí)候，代數(shù)方法比視覺(jué)方法更顯示了問(wèn)題的本質(zhì)和聯(lián)系。強(qiáng)烈推薦視頻和教材，因?yàn)槿赫撌乾F(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。
https://www.bilibili.com/video/BV1Yt4y1F72S
很老的課程了，對(duì)應(yīng)的教材為經(jīng)典的 Michael Artin 的代數(shù)。學(xué)完本視頻和配套教材會(huì)對(duì)抽象代數(shù)有扎實(shí)深入的理解。
張量
張量是廣義相對(duì)論的描述工具之一，另一個(gè)是黎曼幾何。張量有其物理意義和數(shù)學(xué)意義，這里我們關(guān)注其數(shù)學(xué)意義而非物理意義。
張量是多重線性映射，其中，V是矢量空間，V*是對(duì)偶空間。
有了多重空間的線性映射，下一步就是將兩個(gè)張量組成新的空間，這個(gè)空間由張量積得到
注意，張量積后的新空間的維度為原來(lái)兩個(gè)空間的維度乘積，即若上述 U, V 分別是 m 和 n 維線性空間，則新空間維度為 mn。
eigenchris 的 tensor 入門系列講的應(yīng)該是最好理解的，舉了很多具體的例子，例如關(guān)于重要的概念行向量作為covector。
【XylyXylyX】 What is a Tensor
https://www.bilibili.com/video/BV1NK411Q7p4
并非上述兩個(gè)視頻課程的配套教材，我找到一些市面上不錯(cuò)的純 Tensor 類入門書籍
李群
如之前所說(shuō)，李群的本質(zhì)是為了解決例如旋轉(zhuǎn)矩陣群雖然在乘法上封閉（因此組成群）但是在加法上不封閉的問(wèn)題。因?yàn)樵谧鰞?yōu)化或者其他運(yùn)算時(shí)，旋轉(zhuǎn)代表的矩陣必然用到矩陣加法。李群的解決方式是將小量上的映射到李空間上做完運(yùn)算后映射回李群。不過(guò)一般李群過(guò)于復(fù)雜，學(xué)習(xí)內(nèi)容過(guò)于龐大，因此簡(jiǎn)單的入門李群本身也比較困難。
【XylyXylyX】 Lie Groups and Lie Algebras
https://www.bilibili.com/video/BV1Z14y1j78c
XylyXylyX的李群視頻是眾多李群入門中比較不錯(cuò)的，有不少重復(fù)，適合初學(xué)。配套 Robert Gilmore的如下教材（教材后面部分過(guò)于復(fù)雜）。
https://www.bilibili.com/video/BV1FK411D7dv
視頻有專門一節(jié)推薦了眾多不錯(cuò)的教材，不過(guò)李群這個(gè)領(lǐng)域過(guò)于深?yuàn)W，我也只是剛?cè)腴T。因此在此僅列其一：Springer 的GTM（研究生數(shù)學(xué)系列）表示理論
傅里葉變換
傅里葉變換的本質(zhì)是將函數(shù)分解成一組相對(duì)卷積算子的對(duì)角化基，是進(jìn)階泛函分析的重要概念。
https://www.bilibili.com/video/BV1Gm4y1A7bw
可由下方地址下載
https://see.stanford.edu/materials/lsoftaee261/book-fall-07.pdf
微分流形
https://www.bilibili.com/video/BV1fG411E7Tc
程序員的范疇論
其他
【NJ Wildberger】 Famous Math Problems
https://www.bilibili.com/video/BV1De4y1m7uS
參考資料：
https://mp.weixin.qq.com/s/n6yD_TdO517DCF3ZRHwDNw