專題復習三 運動路徑及不規(guī)則圖形面積的計算
(1)運動路徑一般由弧組成,計算時關鍵在于確定弧的度數(shù)與半徑;與旋轉(zhuǎn)變換有關的運動路徑找到旋轉(zhuǎn)中心最重要.(2)不規(guī)則圖形的面積一般用“割”或“補”的方法轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形計算.
1.如圖所示的五個半圓,鄰近的兩半圓相切,兩只小蟲同時出發(fā),以相同的速度從點A 到點B ,甲蟲沿路線爬行,乙
蟲沿
路線爬行,則下列結論正確的是(C).
A.甲先到點 B
B.乙先到點 B
C.甲、乙同時到點 B
D.無法確定
(第1題)(第2題)(第3題)
2.如圖所示,Rt △AB ′C ′是Rt △ABC 以點A 為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°而得到的,其中AB=1,BC=2,則旋轉(zhuǎn)過程中的長為(A).
A.
2
5
π B. 25π C.5π D.
5π
3.如圖所示,已知∠ABC=90°,AB=πr ,AB=2BC ,半徑為r 的⊙O 從點A 出發(fā),沿A →B →C 方向滾動到點C 時停止.則在此運動過程中,圓心O 運動的總路程為(A).
A.2πr
B.3πr
C. 23πr
D. 2
5πr 4.如圖所示,已知正方形ABCD 的邊長為22cm ,將正方形ABCD 在直線l 上順時針連續(xù)翻轉(zhuǎn)4次,則點A 所經(jīng)過的路徑長為(B).
A.4πcm
B.(2+22)πcm
C.22πcm
D.(4+22)πcm
(第4題)
(第
cd04e589ce39e0c430ca038e2987aefc
5題)
5.如圖所示,分別以五邊形ABCDE 的頂點為圓心、1為半徑作圓,則圖中陰影部分的面積之和為(C).
A. 2
3π B.3π C. 2
7π D.2π 6.如圖1所示為以AB 為直徑的半圓形紙片,AB=6cm ,沿著垂直于AB 的半徑OC 剪開,將扇形AOC 沿AB 方向平移至扇形A ′O ′C ′,如圖2所示.其中O ′是OB 的中點,O ′C ′交于點F,則
的長為 π
cm .
(第6題)
7.如圖所示,正方形ABCD 內(nèi)接于⊙O ,⊙O 的半徑為2,以圓心O 為頂點作∠MON ,使∠MON=90°,OM ,ON 分別與⊙O 交于點E ,F(xiàn) ,與正方形ABCD 的邊交于點G ,H ,則陰影部分的面積S= π-2 .
(第7題) (第8題)
8.如圖所示,正方形ABCD邊長為4,以BC為直徑的半圓O交BD于點E.則陰影部分面積為 6-π(結果保留π).
9.如圖所示,線段AB的端點在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上,現(xiàn)將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC.
(第9題)
(1)請你用尺規(guī)在所給的網(wǎng)格中畫出線段AC及點B經(jīng)過的路徑.
(2)若將此網(wǎng)格放在一平面直角坐標系中,已知點A的坐標為(1,3),點B的坐標為(-2,-1),則點C的坐標為 (5,0) .
(3)在線段AB旋轉(zhuǎn)到線段AC的過程中,線段AB掃過的區(qū)域的面積為25π.
4
【答案】(1)圖略
(2)(5,0)
25π
(3)
4
(第10題)
10.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,E在AC上,經(jīng)過A,B,E三點的⊙O交BC于點D,且
.
(1)求證:AB 為⊙O 的直徑.
(2)若AB=8,∠BAC=45°,求陰影部分的面積.
(第10題答圖)
【答案】(1)如答圖所示,連結AD.∵
,∴∠BAD=∠CAD.又AB=AC ,
∴AD ⊥BC.∴∠ADB=90°.∴AB 為⊙O 的直徑.
(2)連結OE.∵∠BAC =45°,∴∠BOE =90°.∴∠AOE =90°.∵AB 為⊙O 的直徑,∴∠AEB =90°.
∴AO =OE =OB =21AB =4.∴陰影部分的面積為21
×4×4+360
4902?π=8+4
π.
11.如圖所示,在平面直角坐標系中放置一個邊長為1的正方形ABCD ,將正方形ABCD 沿x 軸的正方向無滑動地在x 軸上滾動,當點A 離開原點后第一次落在x 軸上時,點A 運動的路徑線與x 軸圍成的圖形面積為(C).
A. 2π+21
B. 2
π+1 C.π+1 D.π+2
1
(第11題)(第12題)
12.如圖所示,△ABC 為等邊三角形,⊙O 的周長與等邊三角形的邊長相等,⊙O 在△ABC 的邊上作無滑動滾動,從點P 出發(fā)沿順時針方向滾動,又回到點P ,滾動的圈數(shù)是(D).
A.1
B.2
C.3
D.4
13.如圖1所示,有一張矩形紙片ABCD ,其中AD=8cm ,上面有一個以AD 為直徑的半圓,正好與對邊BC 相切,將它沿DE 折疊,使點A 落在BC 上,如圖2所示.這時半圓還露在外面的部分(陰影部分)的面積是(B).
A.(π-23)cm 2
B.( 3
16π-43)cm 2 C.(21π+3)cm 2 D.
(3
2π+3)cm 2
(第13題)(第14題)
14.如圖所示,兩個半徑相等的直角扇形的圓心分別在對方的圓弧上,半徑AE ,CF 交于點G ,半徑BE ,CD 交于點H ,且C 是的中點,若扇形的半徑為2,則圖中陰影部分的面積等于 2π-4 . 15.如圖所示,在半徑為5,圓心角為45°的扇形AOB 內(nèi)部作一個正方形CDEF ,使點C 在OA 上,點D ,E 在OB 上,點F 在上,則陰影部分的面積為
85 -2
3
(結果保留π). (第15題)(第16題)
16.已知一個圓心角為270°扇形工件ae怎么讓圖形跟著路徑運動,未搬動前如圖所示,A ,B 兩
點觸地放置,搬動時,先將扇形以點B為圓心,作如圖所示的無滑動翻轉(zhuǎn),再使它緊貼地面滾動,當A,B兩點再次觸地時停止.若扇形的半徑為3m,則圓心O所經(jīng)過的路線長是 6π m(結果保留π).
(第17題)
17.如圖所示,在一個物體的橫截面Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=1m.工人師傅先將AB邊放在地面(直線l)上.
(1)請直接寫出AB,AC的長.
(2)工人師傅要把此物體搬到墻邊,先按順時針方向繞點B翻轉(zhuǎn)到△A1BC1位置(BC1在l上),最后沿BC1的方向平移到△的位置,其平移的距離為線段AC的長度(此時A2C2恰好靠在墻邊).畫出在搬動此物的整個過程中點A所經(jīng)過的路徑,并求出該路徑的長度.
(3)若沒有墻,像(2)那樣翻轉(zhuǎn),將△ABC按順時針方向繞點B翻轉(zhuǎn)到△A1BC1位置為第一次翻轉(zhuǎn),又將△A1BC1按順時針方向繞點C1翻轉(zhuǎn)到△(A2C1在l上)為第二次翻轉(zhuǎn),求兩次翻轉(zhuǎn)此物的整個過程中點A經(jīng)過路徑的長度.
【答案】(1)AB=2m,AC=3m.
(第17題答圖)
(2)如答圖所示,點A經(jīng)過的路徑為.∵∠ABA1=180°-60°
=120°,A 1A 2=AC=3 (m). ∴點A 所經(jīng)過的路徑長為?π+3=(3
4
π+3)(m). (3)點A 經(jīng)過的路徑為
.=
?π=3
4
π(m), =
180
3
90?π=2
3
π(m). ∴點A 經(jīng)過的路徑長度為34π+
2
3
π(m ).
18.【蘭州】如圖所示,⊙O 的半徑為2,AB ,CD 是互相垂直的兩條直徑,點P 是⊙O 上任意一點(P 與點A ,B ,C ,D 不重合),過點P 作PM ⊥AB 于點M ,PN ⊥CD 于點N ,Q 是MN 的中點,當點P 沿著圓周轉(zhuǎn)過45°時,點Q 走過的路徑長為(A).
A. 4
π B. 2
π C. 6
π D. 3
π
(第18題)
(第19題) (第
19題答圖)
19.【恩施州】如圖所示,在Rt △ABC 中,∠BAC=30°,以直角邊AB 為直徑作半圓交AC 于點D ,以AD 為邊作等邊三角形ADE ,延長ED 交BC 于點F ,BC=23,則圖中陰影部分的面積為 33-2
3π .(結果不取近似值)
【解析】如答圖所示,設半圓的圓心為O ,連結DO ,過點D 作DG ⊥AB 于點G ,過點D 作DN ⊥CB 于點N.在Rt △ABC 中,∠BAC=30°,∴
∠ACB=60°,∠ABC=90°.∵△ADE 是等邊三角形,∴∠EAD=∠E =60°.易知△CDF 是等邊三角形.在Rt △ABC 中,∠BAC=30°,BC=23,∴AC=43,AB=6,∠DOG=60°.∴AO =BO =3.在Rt △DOG 中,∠DOG =60°,OD =OB =3,∴DG=
2
3
3.∴AD=33.∴DC=AC-AD=3.在Rt △DCN 中,∠C =60°,DC =3,∴CN =
2
3
,DN=32.∴FC =3.則S 陰影=S △ABC -S △AOD -S 扇形DOB -S △DCF
=21×23×6-21
×3×2
33-?π-21×23×3=33-2
3
π.
20.如圖所示,正方形ABCD 的邊長為1,分別以正方形的四個頂點為圓心,邊長為半徑,在正方形內(nèi)畫圓弧,求圖中陰影部分的面積.
(第20題) (第20題答圖)
【答案】如答圖所示ae怎么讓圖形跟著路徑運動,設正方形的各部分不規(guī)則圖形的面積分別為x ,y ,z.S 正方形ABCD =x+4y+4z=1,S 扇形ABC =x+3y+2z=4
π
,S 曲邊三角形BEC =x+2y+z=2S
扇形BEC -S △BCE
=2×?π-43=3π-4
3
,可解得x=3π+1-3.∴圖中陰影部分的面積為3
π+1-3.