學習編程的過程中，計算兩個數(shù)的和 int a=b + c 這樣的代碼肯定經(jīng)常寫到，但是計算機到底是怎么計算出來的呢？
說到加法，首先提到的一個概念就是全加器，下圖是一個全加器的數(shù)字邏輯電路。
其中，異或門的輸出 Y=A ^ B ，與非門的輸出就是先與再非，即 Y=!(A & B) 。這里我就不再列真值表了，我們再來看一下上面全加器的邏輯，通過推導可以得到下面公式：
Sum=A ^ B ^ Cin
Cout=(A ^ B & Cin) | (A & B)
這是一位（1 bit）的加法運算，當我們把 8 個全加器級聯(lián)起來的話（低位的 Cout 是高位的 Cin ）就實現(xiàn)了一個 8 位的加法器。我們可以用代碼模擬一下（LeetCode 371. 兩整數(shù)之和）：
說到這里，大家應(yīng)該大體的了解計算機是怎么計算加法的了，那減法呢？
加法是進位，減法需要考慮的則是借位，是這樣嗎？按我們小時候?qū)訙p法學習的經(jīng)驗是這樣的，但是計算機不是這么處理的。計算機“只有加法”，“沒有減法”。肯定有同學說，不可能，那我們算 int a=b - c 是怎么得出來結(jié)果的呢？說到這個首先要了解另外一個概念——補碼。
補碼
我們知道，計算機中對于有符號數(shù)，用最高位作為符號位，“0” 代表 “+” ，“1” 代表 “-” ；其余數(shù)位用作數(shù)值位，代表數(shù)值。比如 Byte 類型的取值范圍為 -128 ~ 127。其中，表示數(shù)值的只有 7 位，首位表示正負。
怎么推導一個數(shù)字的補碼呢？補碼規(guī)定，正數(shù)和 0 的補碼就是其原碼（原碼、反碼的定義這里就不多贅述），負數(shù)的補碼是其正數(shù)的原碼取反再加 1 。
聽起來有點繞，舉個例子，求 -10 的補碼：
十進制 10 的原碼（按 8 位舉例）為 0000 1010，其反碼為 1111 0101，取反后再加 1 即為其補碼： 1111 0110。因此，-10 的補碼為 1111 0110。
不知道寫到這里，大家有沒有發(fā)現(xiàn)什么端倪？我們再回到減法計算來。
a=b - c
實際上等同于
a=b + ( -c )
我們算一下下面的式子：
通過這兩個例子是不是就清楚了計算機是如何計算減法的了？
通過說減法，我們是不是對乘法也有一定的啟發(fā)了呢？乘法其實就是循環(huán)的加法。比如 5 * 3 實際上就是 5 + 5 + 5。貌似就說完了。實際上不僅僅如此的。現(xiàn)在有一個電子器件叫做乘法器，其可以實現(xiàn)二進制的乘法、除法等運算。我們同樣以 5 * 3 做為例子，講解一下乘法器計算乘法的流程。
3 的第 0 位為 1 ，那么 5 左移 0 位，結(jié)果為 0000 0101 ；
3 的第 1 位為 1 ，那么 5 左移 1 位，結(jié)果為 0000 1010 ；
3 的其他高位都為 0 ，因此不再左移；
兩次左移的結(jié)果累加，即 0000 0101 + 0000 1010=0000 1111 ，即十進制的 15 。
雖然有乘法器，但是我們發(fā)現(xiàn)實際的最終操作流程還是加法和位移操作計算的乘法運算。我們寫的代碼中的乘法到底是用乘法器算的還是轉(zhuǎn)化成加法運算，我們也并不太確定，有些編譯器編譯的時候會對代碼進行優(yōu)化，會選取最優(yōu)的一種算法來計算結(jié)果。
除法可以通過減法來實現(xiàn)，比如 10 / 3 等價于 10 一直減 3 直到被減數(shù)小于 3 ，減了 3 次，那么 10 / 3 的結(jié)果就為 3 了，余數(shù)為減完剩下的值 1 。
其實上面已經(jīng)提到了乘法器，除法的原理同樣也類似（這里不說浮點數(shù)的除法，只說整數(shù)的除法），但是稍微復(fù)雜一點。（ LeetCode 29. 兩數(shù)相除）
同樣我們舉個例子來說明一下。
首先取 209 的最高位 1 (101 0001) 小于 101
左移一位 11 (01 0001) 小于 101
左移一位 110 (1 0001) 大于 101 ，商 1 ，余 1 (1 0001)
左移一位 11 (0001) 小于 101
左移一位 110 (001) 大于 101 ，商 1 ，余 1 (001)
左移一位 10 (01) 小于 101
左移一位 100 (1) 小于 101
左移一位 1001 大于 101 ，商 1 ，余 100
于是結(jié)果為 00101001 （41），余數(shù)為 100 （4）。
通過上面我們發(fā)現(xiàn)，計算機計算加減乘除，都是轉(zhuǎn)換為加法和位移運算完成的，而事實上也是如此。可能我們平時編程過程中可能用不到這些內(nèi)容，直接寫 + - * / 就可以了，但是作為一名程序員，還是有必要了解一下計算機基礎(chǔ)的編碼以及基礎(chǔ)的運算的。祝大家學習愉快！
由計算機的硬件決定，任何存儲于計算機中的數(shù)據(jù)，其本質(zhì)都是以二進制碼存儲。
根據(jù)馮~諾依曼提出的經(jīng)典計算機體系結(jié)構(gòu)框架。一臺計算機由運算器，控制器，存儲器，輸入和輸出設(shè)備組成。其中運算器，只有加法運算器，沒有減法運算器（據(jù)說一開始是有的，后來由于減法器硬件開銷太大，被廢了 ）
所以，計算機中的沒法直接做減法的，它的減法是通過加法來實現(xiàn)的。你也許會說，現(xiàn)實世界中所有的減法也可以當成加法的，減去一個數(shù)，可以看作加上這個數(shù)的相反數(shù)。當然沒錯，但是前提是要先有負數(shù)的概念。這就為什么不得不引入一個該死的符號位。
而且從硬件的角度上看，只有正數(shù)加負數(shù)才算減法。 正數(shù)與正數(shù)相加，負數(shù)與負數(shù)相加，其實都可以通過加法器直接相加。
原碼、反碼、補碼的產(chǎn)生過程就是為了解決，計算機做減法和引入符號位（正號和負號的問題）
在了解什么是原碼、反碼、補碼前我們先了解什么無符號數(shù)和有符號數(shù)
沒有正負之分
例C語言中 unsigned int 類型
寄存器的位數(shù)反映無符號數(shù)的表示范圍
有符號數(shù)包含符號部分和數(shù)值部分
一般我們規(guī)定有符號數(shù)機器數(shù)的第1位為符號位，1代表這個數(shù)是負數(shù)，0代表這個數(shù)是整數(shù)
假設(shè)已C語言中 char類型舉例（默認為有符號數(shù)）
char類型為1Byte，8bit
那么char類型能表示的范圍是多少？
應(yīng)該是-128~127
要知道為什么是-128~127我們就需要知道數(shù)據(jù)在計算機中是怎么存儲的，下面引入原碼、反碼、補碼以及移碼的概念
原碼：是最簡單的機器數(shù)表示方法。用最高位表示符號位，‘1’表示為負號，‘0’表示為正號，其他位存放該數(shù)的二進制的絕對值
1010：最高位為‘1’，表示這是一個負數(shù)
其他三位為‘010’，轉(zhuǎn)換為十進制為：2
所以1010表示十進制為：-1
1010：最高位是‘1’還是‘0’無所謂了，因為它表示為無符號數(shù)
所以直接轉(zhuǎn)換為十進制為：10
下圖給出部份正負數(shù)數(shù)的二進制原碼表示法
OK，原碼表示法很簡單有沒有，雖然出現(xiàn)了+0和-0，但是直觀易懂。 于是，我們高興的開始運算。
0001+0010=0011 （1+2=3）OK
0000+1000=1000 （+0+（-0）=-0） 額，問題不大
0001+1001=1010 （1+（-1）=-2） ？？？
噢，1+（-1）=-2，我趣里的
于是我們可以看到其實正數(shù)之間的加法通常是不會出錯的，因為它就是一個很簡單的二進制加法。
而正數(shù)與負數(shù)相加，或負數(shù)與負數(shù)相加，就要引起莫名其妙的結(jié)果，這都是該死的符號位引起的。0分為+0和-0也是因他而起。
所以原碼，雖然直觀易懂，易于正值轉(zhuǎn)換。但用來實現(xiàn)加減法的話，運算規(guī)則總歸是太復(fù)雜。于是反碼來了。
我們知道，原碼最大的問題就在于一個數(shù)加上他的相反數(shù)不等于零。
例如：
于是反碼的設(shè)計思想就是沖著解決這一點，既然一個負數(shù)是一個正數(shù)的相反數(shù)，那我們干脆用一個正數(shù)按位取反來表示負數(shù)試試。
反碼：
正數(shù)的反碼還是等于原碼
負數(shù)的反碼就是他的原碼除符號位外，按位取反。
若以帶符號位的四位二進制數(shù)為例：
下圖給出部分正負數(shù)的二進制數(shù)反碼表示法
對著上圖，我們再試著用反碼的方式解決一下原碼的問題
好，我們再試著做一下兩個負數(shù)相加（運算中均為反碼）
噢，好像又出現(xiàn)了新問題
不過好像問題不大，因為1011（是-4的反碼，但是從原碼來看，它其實是-3。巧合嗎？）
我們再看個例子吧
確實是巧合，看來相反數(shù)問題是解決了，但是卻讓兩個負數(shù)相加的出錯了。
但是實際上，兩個負數(shù)相加出錯其實問題不大。我們回頭想想我們的目的是什么？是解決做減法的問題，把減法當成加法來算。
兩個正數(shù)相加和兩個負數(shù)相加，其實都是一個加法問題，只是有無符號位罷了，而正數(shù)+負數(shù)才是真正的減法問題。
也就是說只要正數(shù)+負數(shù)不會出錯，那么就沒問題了。負數(shù)加負數(shù)出錯沒關(guān)系的，負數(shù)的本質(zhì)就是正數(shù)加上一個符號位而已。
但是我們還是不滿足為什么 0001+1110=1111 （1+（-1）=-0） 為什么是-0呢？
下面有請補碼！
補碼：
正數(shù)的補碼等于他的原碼
負數(shù)的補碼等于反碼+1。 （這只是一種算補碼的方式，多數(shù)書對于補碼就是這句話）
OK，補碼就講完了。再見！！！
莫名其妙有沒有，為什么補碼等于反碼加1，為什么……………….?
其實上面那段話，只是補碼的求法，而不是補碼的定義。很多人以為求補碼就要先求反碼，其實并不是。
那些雞賊的計算機學家，并不會心血來潮的把反碼+1就定義為補碼。只不過是補碼正好就等于反碼加1罷了。
下面詳細介紹補碼的思想，可以跳過，你只需要記住補碼怎么計算就行。但是如果你肯停下來仔細想想，絕對會覺得非常美妙，極其優(yōu)雅！
補碼的思想就類似于生活中的時鐘
如果現(xiàn)在時針停在10點鐘，那么怎樣讓時鐘調(diào)整到八點鐘的位置呢？
有兩種方法：
也就是說時間正撥10小時，或是倒撥2小時都是八點鐘。
也就是10-2=8，而且 MOD[(10+10),12]=8
既然是等效的，那在時鐘運算中，減去一個數(shù)，其實就相當于加上另外一個數(shù)（這個數(shù)與減數(shù)相加正好等于12，也稱為同余數(shù)）
這就是補碼所謂模運算思想的生活例子
在這里，我們再次強調(diào)原碼，反碼，補碼的引入是為了解決做減法的問題。在原碼，反碼表示法中，我們把減法化為加法的思維是減去一個數(shù)，等于加上一個數(shù)的相反數(shù)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)引入了符號位，卻因為符號位造成了各種意向不到的問題。
但是在補碼表示法中，我們可以看到其實減去一個數(shù)，對于數(shù)值有限制，有溢出的運算（模運算）來說，其實也相當于加上這個數(shù)的同余數(shù)。
也就是說，我們不引入負數(shù)的概念，就可以把減法當成加法來算（模運算）。
補碼的思想介紹完畢
下圖給出帶符號位四位二進制的補碼表示法
到這里，我們發(fā)現(xiàn)原碼，反碼的問題，補碼基本解決了。
在補碼中也不存在負零了，因為1000表示-8
這是因為根據(jù)上面的補碼圖，做減法時，0001（1）+1111（-1）=0000 ，我們再也不需要一個1000來表示負0了，就把它規(guī)定為-8
然后我們再來看看為什么負數(shù)的補碼的求法為什么是反碼+1
假設(shè)一個四位負數(shù)為1001，即（-1）
1110+0001+1
=1111+1
=10000，即四位數(shù)的模（指四位二進制數(shù)所能表示的最大數(shù) 16）
立即推：負數(shù)的反碼 + 負數(shù)的絕對值 + 1=模
而：負數(shù)的補碼是它絕對值的同余數(shù)，即補碼 + 負數(shù)的絕對值=模
立即推：補碼 + 負數(shù)的絕對值=負數(shù)的反碼 + 負數(shù)的絕對值 + 1
得：補碼=負數(shù)的反碼 + 1
妙不妙（這玩意是怎么研究出來的）
為什么這里一直在說負數(shù)呢？
因為正數(shù)的原碼、反碼、補碼都一樣，不用計算
到這里補碼的概念也介紹完了，我們回到剛才的問題：為什么C語言中char類型的范圍為：-128~127
直接上圖解：
如果是unsigned char 那能表示范圍為：0~255
如果我們把-8當成負數(shù)的原點。那么-5的補碼是多少呢？
所以完全可以口算出-5的補碼是1011
對于八位加法器的話，可以把-128當補碼原點。十六位可以把-32768當補碼原點。
是的，128是256（八位二進制數(shù)的模）的一半，32768是65536（十六位二進數(shù)的模）的一半
也很方便有沒有，而且簡單的是
補碼原點總是最高位是‘1’，其他位是‘0’
所以看上圖的-128（10000000） 就可以當作補碼的原點，-127 就是-128+1，即（10000001）
數(shù)學之美
移碼（又叫增碼或偏置碼）通常用于表示浮點數(shù)的階碼，其表示形式與補碼相似，只是其符號位用“1”表示正數(shù)，用“0”表示負數(shù)，數(shù)值部分與補碼相同。
移碼與補碼的關(guān)系： [X]移與[X]補的關(guān)系是符號位互為相反數(shù)（僅符號位不同），
所以，移碼很簡單，不管正負數(shù)，只要將其補碼的符號位取反即可。
即知道補碼，將其符號位取反就是移碼
知道移碼將其符號位取反就是補碼
補碼表示很難直接判斷其真值大小，比如：
我們加一個偏移量：2^5，得到正確的大小比較結(jié)果
如果是有符號數(shù)，去除符號位
從這也可以看出上文中C語言中char類型能表示的最小值為啥是：-128
char類型默認是有符號數(shù)，1Byte 8bit，第1位是符號位，所以真值的位數(shù)n=7
最小值為：-27
上面叭叭說了一大段，總結(jié)下來就幾條。但是如果你肯停下來琢磨是什么原理，你會發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美妙
小數(shù)點固定在某一位置的數(shù)稱為定點數(shù)，有以下兩種格式
采用定點數(shù)表示方式的機器稱為定點機
在這種表達方式中，小數(shù)點的位置固定不變，一般用來表示一個純小數(shù)或者整數(shù)。
數(shù)的定點表示熟知的取值范圍有限，表示一個純小數(shù)時，小數(shù)點固定在符號位之后；表示一個整數(shù)時，小數(shù)點固定在數(shù)據(jù)最后一位之后。
純小數(shù)即（0，1）之間的小數(shù)
小數(shù)定點機中數(shù)的表示范圍為：-（1-2^-n）~（1-2^-n）
整數(shù)定點機中數(shù)的表示范圍為：-（2^n - 1）~（2^n - 1）
例：假設(shè)機器數(shù)字長為8為，符號位為1位，用定點法表示10和-10
10用二進制表示為：1010
因為字長為8為所以高位補0
則10用定點法表示為：01010000
-10用定點法表示為： 11010000
例：假設(shè)機器數(shù)字長為8為，符號位為1位，用定點法表示 0.5 和 -0.5
0.5=1/2^1 即小數(shù)點向左移1位
所以二進制形式為：0.1
又因為字長為8
所以二進制形式為：0.1000000
對于 -0.5只需將符號位取反 即 1.1000000
定點數(shù)表達法的缺點在于其形式過于僵硬，固定的小數(shù)點位置決定了固定位數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分，不利于同時表達特別大的數(shù)或者特別小的數(shù)。
所以使用浮點數(shù)表示的原因：
定點數(shù)的表示范圍小，為了能表示兩個大小相差很大的數(shù)據(jù)，需要很長的機器字長，導致數(shù)據(jù)存儲單元的利用率往往很低
最終，絕大多數(shù)現(xiàn)代的計算機系統(tǒng)采納了所謂的浮點數(shù)表達方式。
這種表達方式利用科學計數(shù)法來表達實數(shù)，即用一個 尾數(shù)，一個 基數(shù)，一個 階數(shù)以及一個 符號位來表達實數(shù)。
比如 123.45 用十進制科學計數(shù)法可以表達為 (-1)^0 x 1.2345 × 10^2 ，其中 (-1)^0的0表示符號位（備注：如果表示負數(shù)，符號位為1），1.2345 為尾數(shù)，10 為基數(shù)，2 為階數(shù)。浮點數(shù)利用指數(shù)達到了浮動小數(shù)點的效果，從而可以靈活地表達更大范圍的實數(shù)。
這個計算公式看起來比較復(fù)雜，其實就是計算特定數(shù)取得最大時的數(shù)據(jù)范圍，仔細分析就可以得出來了，沒啥好糾結(jié)的。
例題：
問題：設(shè)機器數(shù)字長為 24 位，欲表示± 3 萬的十進制數(shù)， 試問在保證數(shù)的最大精度的前提下，除階符、數(shù)符各 取 1 位外，階碼、尾數(shù)各取幾位？
分析：
為什么要進行浮點數(shù)的規(guī)格化？
對浮點數(shù)進行規(guī)格化的主要目的是盡可能的保證數(shù)據(jù)的精度。
如果不進行規(guī)格化，尾數(shù)的小數(shù)點后邊可能會有若干個0，0占據(jù)了尾數(shù)表示有效數(shù)據(jù)(不為0的數(shù)據(jù))的字長，導致可以表示有效數(shù)據(jù)的字長變短，降低數(shù)據(jù)的精度。
因此，我們對浮點數(shù)進行規(guī)格化，就要使尾數(shù)中表示有效數(shù)據(jù)的位置盡可能的多。
浮點數(shù)的規(guī)格化形式
比如
因此，基數(shù)不同，浮點數(shù)的規(guī)格化形式不同，規(guī)格化形式不同，基數(shù) r 越大，浮點數(shù)的精度降低
如何進行規(guī)格化?
對浮點數(shù)進行規(guī)格化實際上就是把尾數(shù)部分多余的0移除掉，通過操作階數(shù)來保證原來的數(shù)值（真值）不變，這種方式稱為做規(guī)。
浮點數(shù)表示例題：
將
寫成二進制定點數(shù)、浮點數(shù)及在定點機和浮點機中的機器數(shù)形式。其中數(shù)值部分均取 10 位，數(shù)符取 1 位，浮點數(shù)階碼取 5 位（含1位階符），尾數(shù)規(guī)格化
解：設(shè)x=
二進制形式： x=0.0010011 ——> 10011(19) / 2^7(128) ——>小數(shù)點向左移7位
定點表示： x=0.0010011 000 ——> 數(shù)值部分均取 10 位，所以擴展3位0
浮點規(guī)格化形式 ：
——> -10(2)為二進制碼，表示向右移動兩位小數(shù)點
將 –58 表示成二進制定點數(shù)和浮點數(shù)， 并寫出它在定點機和浮點機中的三種機器數(shù)及階碼為移碼、尾數(shù)為補碼的形式（其他要求同問題一）。
機器零
移位運算在日常生活中常見。例如：
計算機中小數(shù)點的位置是事先約定的，因此，二進制表示的機器數(shù)在相對于小數(shù)點作n位左移或右移時，其實質(zhì)就便該數(shù)乘以或除以2^n(n=1,2...n)。
移位運算又叫移位操作，對計算機來說，有很大的實用價值，例如，當計算機沒有乘（除）運算線路時，可以采用移位和加法相結(jié)合，實現(xiàn)乘（除）運算。
計算機中機器數(shù)的字長往往是固定的，當機器數(shù)左移n位或右移n位時，必然會使其n位低位或n位高位出現(xiàn)空位。那么，對空出的空位應(yīng)該添補0還是1呢？
這與機器數(shù)采用有符號數(shù)還是無符號數(shù)有關(guān)，對有符號的移位叫算術(shù)移位。
下表列出了三種不同碼制的機器數(shù)（整數(shù)或小數(shù)均可），分別對應(yīng)正數(shù)或負數(shù)，移位后的添補規(guī)則。
必須注意的是：不論是正數(shù)還是負數(shù)，移位后其符號位均不變，這是算術(shù)移位的重要特點。
乍看可能覺得很唬人，其實你只要會計算原碼、反碼、補碼就行，把原碼移位后，計算出對應(yīng)的反碼和補碼就行；謹記算數(shù)移位符號位不變！！！
例題：
解：
（1）當A=+26=+11010(二進制碼)，機器數(shù)字長為8位，則 [A]原=[A]補=[A]反=0,0011010
移位結(jié)果表示如下：
可見，對于正數(shù)，三種機器數(shù)移位后符號位不變，左移時最高數(shù)位丟1，結(jié)果出錯；右移時最低數(shù)位丟1，影響精度。
（2）當 A=-26=-11010(二進制碼)，三種機器數(shù)移位結(jié)果示于下表
原碼
反碼
補碼
下圖示意了機器中實現(xiàn)算術(shù)左移和右移操作的硬件框圖
有符號數(shù)的移位稱為算術(shù)移位，無符號數(shù)的移位稱為邏輯移位。
邏輯移位的規(guī)則是：
符號位跟著一起移
算術(shù)移位符號位不動
例如
顯然，兩種移位的結(jié)果是不同的。
上例中為了避免算術(shù)左移時最高數(shù)位丟1，可采用帶進位(Cy)的移位，其示意圖如下圖所示。算術(shù)左移時，符號位移至Cy，最高數(shù)位就可避免移出。
減法運算是計算機中最基本的運算，因減法運算可看作被減數(shù)加上一個減數(shù)的負值，即A-B=A+(-B)，故在此將機器中的減法運算和加法運算合在一起討論。
現(xiàn)代計算機中都采用補碼作加減法運算。
補碼加法的基本公式為：
即補碼表示兩個數(shù)在進行加法運算時，可以把符號位與數(shù)位同等處理，只要結(jié)果不超出機器能表示的數(shù)值范圍，運算后的結(jié)果按2^(n+1)取模(對于整數(shù))；或按2取模(對于小數(shù))，就能得到本次加法的運算結(jié)果。
對于減法，因 A-B=A+(-B)，則 [A-B]補=[A+(-B)]補
由補碼加法基本公式可得：
因此，若機器數(shù)采用補碼， 當求A-B時， 只需先求[-B]補（稱[-B]補為“求補”后的減數(shù)），就可按補碼加法規(guī)則進行運算。而[-B]補由[B]補連同符號位在內(nèi)，每位取反，末位加1而得。
例：A=0.1010，B=-0.0101，用補碼的加法求A+B
解：
[A]補=0.1011，[B]補=1.1011
[A]補+[B]補=0.1011+1.1011=0.0110（按模2的意義，最左邊的1丟掉），所以 A+B=0.0110
例：x=0.1001，y=-0.0011，用補碼的減法求x-y
解：
[x]補=0.1001，[y]補=1.1101，[-y]補=0.0011
[x]補-[y]補=[x]補+[-y]補=0.1001+0.0011=0.1100，所以 x-y=0.1100
例：設(shè)機器數(shù)字長為8位，其中一位為符號位，令A(yù)=-93，B=+45，求[A-B]補。
解：
由A=-93=-1011101，得[A]補=1,0100011，由B=+45=+0101101，得[B]補=0,0101101，[-B]補=1,1010011
[A-B]補=[A]補+[-B]補=1,0100011+1,1010011=10,1110110
按模2^(n+1)的意義，最左邊的“1”自然丟掉，故[A-B]補=0,1110110，還原成真值得A-B=118，結(jié)果出錯，這是因為A-B=-138超出了機器字長所能表示的范圍。在計算機中，這種超出機器字長的現(xiàn)象，叫溢出。為此，在補碼定點加減運算過程中，必須對結(jié)果是否溢出作出明確的判斷。
因此在判斷溢出時可以根據(jù)參加運算的兩個數(shù)據(jù)和結(jié)果的符號位進行。
兩個符號位相同的補碼相加，如果和的符號位與加數(shù)的符號相反，則表明運算結(jié)果溢出；
兩個符號位相反的補碼相減，如果差的符號位與被減數(shù)的符號位相反，則表明運算結(jié)果溢出。
原理：
和的符號位發(fā)生改變肯定是數(shù)值部分進位上來的
或者再想想，兩個負數(shù)相加的和，它的符號位發(fā)生改變豈不是正數(shù)
負數(shù) + 負數(shù)=正數(shù)？ 我趣里的
這種方法需要判斷操作是加法還是減法，以及運算結(jié)果與操作數(shù)的符號關(guān)系。
利用數(shù)據(jù)編碼的最高位（符號位）和次高位（數(shù)值部分的最高位）的進位狀況來判斷運算結(jié)果是否發(fā)生了溢出。
兩個補碼數(shù)實現(xiàn)加減運算時，若最高數(shù)值位向符號位的進位值與符號位產(chǎn)生的進位輸出值不相同，則表明加減運算產(chǎn)生了溢出
因為當x和y均為n+1位正整數(shù)時，其和有兩種情況：
當x和y都是n+1位負數(shù)時，其和也有兩種情況：
例：設(shè)x=+1011， y=+1001，求[x+y]補。
解：
[x]補=01011， [y]補=01001
[x+y]補=01011+01001=10100
兩個正數(shù)相加，最高兩位的進位為01，表示發(fā)生了溢出，其結(jié)果為負數(shù)，顯然是錯誤的。
例：設(shè)x=-1101，y=-1011，求[x+y]補。
解：
[x]補=10011， [y]補=10101
[x+y]補=10011+10101=01000
兩個負數(shù)相加，最高兩位的進位為10，表示發(fā)生了溢出，其結(jié)果為正數(shù)，顯然是錯誤的。
正常時兩個符號位的值相同，在運算結(jié)果中當兩個符號位不同時則表明發(fā)生了溢出。
運算結(jié)果的符號位為01表明兩個正數(shù)相加，結(jié)果大于機器所能表示的最大正數(shù)，稱為上溢；
運算結(jié)果的符號位為10表明兩個負數(shù)相加，結(jié)果小于機器所能表示的最小負數(shù)，稱為下溢。
也就是說，兩個正數(shù)相加，數(shù)值位不應(yīng)向符號位同時產(chǎn)生進位，使得結(jié)果數(shù)的符號位和操作數(shù)的一樣，為00；當運算結(jié)果的兩個符號位不相同時，表明出現(xiàn)了溢出。
例：設(shè)x=+1100，y=+1000，求6位雙符號位補碼之和[x+y]補。
解：
[x]補=001100, [y]補=001000
[x+y]補=001100+001000=010100
[x+y]補=010100，其中兩個符號位出現(xiàn)01，表示已溢出。且第1個符號位為0，上溢
例：設(shè)x=-1100,y=-1000，求6位雙符號位補碼之和[x+y]補。
解：
[x]補=110100， [y]補=111000
[x+y]補=110100+111000=101100
[x+y]補=101100，其中兩個符號位出現(xiàn)10，表示已溢出。且第1個符號位為1，下溢
從上述例子中還看出，不論溢出與否，最高位始終指示正確的符號。
采用雙符號位補碼后，任何小于1的正數(shù)，兩個符號位都是0；任何大于-1的負數(shù)，兩個符號位都是1。
如果兩個數(shù)相加后，其結(jié)果的符號位出現(xiàn)01或10時，表示發(fā)生溢出。因為兩個絕對值小于1的數(shù)相加，其結(jié)果不會大于或等于2，所以最高位總是表示正確的符號。這也可以表示為：
當最高數(shù)據(jù)位有進位而符號位無進位時產(chǎn)生上溢出；當最高數(shù)據(jù)位無進位而符號位有進位時，表示下溢出。
在雙符號位補碼中，正常的數(shù)據(jù)中兩個符號位總是相同的，所以在存儲數(shù)據(jù)時不必重復(fù)存儲，只是在將數(shù)據(jù)送往運算部件進行運算時才把符號位進行復(fù)制形成雙符號位補碼。
在計算機中，乘法運算是一種很重要的運算，有的機器由硬件乘法器直接完成乘法運算，有的機器內(nèi)沒有乘法器，但可以按機器作乘法運算的方法，用軟件編程實現(xiàn)。因此，學習乘法運算方法不僅有助于乘法器的設(shè)計，也有助于乘法編程。
下面從分析筆算乘法入手，介紹機器中用到的幾種乘法運算方法。
設(shè)A=0.1101，B=0.1011，求A×B。
筆算乘法時乘積的符號由兩數(shù)符號心算而得：正正得正；其數(shù)值部分的運算如下：
所以 A×B=+0.10001111
可見，這里包含著被乘數(shù)4的多次左移，以及四個位積的相加運算。
若計算機完全模仿筆算乘法步驟，將會有兩大困難：
為此，對筆算乘法進行改進
將A?B=A?0.1011
=0.1A+0.001?A+0.0001?A
=0.1A+0.00?A+0.001(A+0.1A）
=0.1A+0.01[0?A+0.1(A+0.1A)]
=0.1{A+0.1[0?A+0.1(A+0.1A)]}
=2^-1{A+2^-1 [0?A+2^-1 (A+2^-1A)]}
=2^-1{A+2^-1 [0?A+2^-1 (A+2^-1(A+0))]}
由上式可見，兩數(shù)相乘的過程，可視作加法和移位(乘2^-1相當于做一位右移)兩種運算，這對計算機來說是非常容易實現(xiàn)的。
從初始值為0開始，對上式作分步運算，則：
上述運算過程可歸納為：
乘法運算可用移位和加法來實現(xiàn)，當兩個四位數(shù)相乘，總共需做四次加法和四次移位。
由乘數(shù)的末位值確定被乘數(shù)是否與原部分積相加，然后右移一位，形成新的部分積；同時，乘數(shù)也右移一位，由次低位作新的末位，空出最高位放部分積的最低位。
每次做加法時，被乘數(shù)僅僅與原部分積的高位相加，其低位被移至乘數(shù)所空出的高位位置。
計算機很容易實現(xiàn)這種運算規(guī)則。用一個寄存器存放被乘數(shù)，一個寄存器存放乘積的高位，又用一個寄存器存放乘數(shù)及乘積的低位，再配上加法器及其他相應(yīng)電路，就可組成乘法器。又因加法只在部分積的高位進行，故不但節(jié)省了器材，而且還縮短了運算時間。
由于原碼表示與真值極為相似，只差一個符號，而乘積的符號又可通過兩數(shù)符號的邏輯異或求得，因此，上述討論的結(jié)果可以直接用于原碼一位乘，只需加上符號位處理即可。
遞推公式：
例：x=-0.1110 y=0.1101 求【x.y】原
即【x.y】原=0.10110110
這邊直接介紹加減交替法
小數(shù)定點除法對被除數(shù)和除數(shù)有一定的約束：
0 < 被除數(shù) <=除數(shù)
加減交替法又稱不恢復(fù)余數(shù)法，可以認為它是恢復(fù)余數(shù)法的一種改進算法。
分析原碼恢復(fù)余數(shù)法得知：
可見，原碼恢復(fù)余數(shù)法可歸納為：
這里已看不出余數(shù)的恢復(fù)問題了，而只是做加y*或減y*，因此，一般把它叫做加減交替法或不恢復(fù)余數(shù)法。
例：已知：x=-0.1011,y=-0.1101，求：[x÷ y]原
解：
[x]原=1.1011， x*=0.1011
[y]原=0.1101，y*=0.1101，[-y*]補=1.0011
商值的求解過程如下表所示：
商的符號位為
所以
分析此例可見，n位小數(shù)的除法共上商n+1次，第一次商用來判斷是否溢出。
倘若比例因子選擇恰當，除數(shù)結(jié)果不溢出，則第一次商肯定是0。如果省去這位商，只需上商n次即可，此時除法運算一開始應(yīng)將被除數(shù)左移一位減去除數(shù)，然后再根據(jù)余數(shù)上商。
大概過程：
除了用原碼計算，還可以用補碼進行計算，計算出來的是補碼，我們只需掌握原碼計算法，把得到的結(jié)果轉(zhuǎn)為補碼就行了，這里就不再細說了
首先給出浮點數(shù)加減法運算步驟：
類比平常我們用到的帶階數(shù)的加減法，我們常常會把兩個數(shù)的階數(shù)轉(zhuǎn)化為一致，再針對尾數(shù)進行加減法運算，計算機中也是一樣。
對以上兩個浮點數(shù)，我們進行對階，首先求他們的階差
在對階的過程中有兩種方式，大階向小階看齊，小階向大階看齊。
但是在計算機中，因為存儲空間的字長限制，如果我們使用大階向小階看齊，需要把數(shù)字向左移，可能把數(shù)字的最高位給移除掉，從而使整個數(shù)據(jù)出現(xiàn)錯誤；
如果我們使用小階向大階看齊，需要把數(shù)字向右移，有可能丟失數(shù)據(jù)的精度，但不會使整個數(shù)據(jù)出現(xiàn)錯誤；
因此我們對階的原則是：小階向大階看齊
求 X + Y
可以看到這邊我們也用到了上文提到的雙符號
判斷一個數(shù)是否是規(guī)格化數(shù)，計算機中可以通過異或電路，比較一個數(shù)補碼的符號位跟第一位數(shù)是否相同來實現(xiàn)。
概括一下：
對于雙符號位的補碼規(guī)格化形式位：00.1xxxxxxxx；11.0xxxxxxxx
尾數(shù)左移一位（大小變?yōu)樵瓉淼膬杀叮A碼減 1 ，直到數(shù)符和第一數(shù)位不同為止
計算 X + Y的結(jié)果為： [ x + y ] 補=00, 11; 11. 1001
結(jié)果為非規(guī)格化數(shù)，左規(guī)后
注意這邊0.1110是原碼
當 尾數(shù)溢出 （ >1 ）時，需 右規(guī)， 即尾數(shù)出現(xiàn) 01. ××…×或 10. ××…×時， 尾數(shù)右移一位，階碼加 1
總結(jié)：
當尾數(shù)出現(xiàn)00.0xxxxxxx、11.1xxxxxxxxx 需要左規(guī)
當尾數(shù)出現(xiàn)01.xxxxxxxx、10.xxxxxxxxxx 需要右規(guī)
無論左規(guī)還是右規(guī)對尾數(shù)進行移位是都是邏輯移位（即符號位也參與移位）
例：
求x+y（除階符、數(shù)符外，階碼取3位，尾數(shù)取6位）
通過雙符號位，我們可以知道尾數(shù)相加后，尾數(shù)溢出（且為上溢），因此我們需要進行右規(guī)
注意這邊0.100101是原碼
執(zhí)行右規(guī)或者對階時，有可能會在尾數(shù)低位上增加一些值，最后需要把它們移掉。（進行尾數(shù)加減時不要把對階過程在尾數(shù)低位上增加的值去掉，不是不去掉，而是在舍入這一步去掉。）比如說，原來參與運算的兩個數(shù)（加數(shù)和被加數(shù)）算上符號位一共有6個數(shù)，通過一系列操作后運算結(jié)果變成了8個數(shù)，這時需要把第7和8位的數(shù)去掉。如果直接去掉，會使精度受影響，通常有下邊兩個方法：
比如：X=00.11010111，假設(shè)原本加數(shù)和被加數(shù)算上符號位一共有6個數(shù)，結(jié)果X是10個數(shù)，那么要去掉后四個數(shù)（0111）。由于0111首位是0（即要去掉的數(shù)的最高位為0），這種情況下，直接去掉這四個數(shù)就可以。所以最后結(jié)果為 X=00.1101
結(jié)果 X=00.11001001，這時要去掉的數(shù)為1001四個數(shù)，由于這四個數(shù)的首位為1（即要去掉的數(shù)的最高位為1），這種情況下，直接去掉這四個數(shù)，再在去掉這四個數(shù)的新尾數(shù)的末尾加1。如果+1后又出現(xiàn)了溢出（即符號位為：01或10），繼續(xù)進行右規(guī)操作。所以最后結(jié)果為 X=00.1101。
這個比較簡單，去掉多余的尾數(shù)，然后保證去掉這四個數(shù)的新尾數(shù)的最后一位為1（即是1不用管，是0改成1）即可。比如 Z=00.11000111，置1法之后的結(jié)果為Z=00.11001。
階碼溢出在規(guī)格化和右移的過程中都有可能發(fā)生，
例如：
設(shè)機器數(shù)為補碼，尾數(shù)為 規(guī)格化形式， 并假 設(shè)階符取 2 位，階碼的數(shù)值部分取 7 位，數(shù)符取 2 位，尾數(shù)取 n 位，則該 補碼 在數(shù)軸上的表示為
Arithmetic Logic Unit
電路圖
ALU是一個組合邏輯電路，所謂組合邏輯電路指電路沒有記憶功能，所以Ai，Bi 存儲在寄存器中
要求n位加法器的進位同時產(chǎn)生，分為單重分組跳躍進位鏈和雙重分組體跳躍進位鏈
n位全加器分為若干小組，小組中的進位同時產(chǎn)生，小組和小組之間采用串行進位
以 n=16 為例
n位全加器分為若干大組，大組中又包含若干小組。每個大組中小組的最高位進位同時產(chǎn)生。大組與大組之間采用串行進位
以 n=32 為例
分為2大組，每個大組有4個小組，每個小組有4位數(shù)據(jù)
第2大組進位圖（第1大組進位圖和這個一樣）
C15 會傳到第1大組中
完整圖
邊有很多需要用Excel的朋友，做財務(wù)的、做人事的、做銷售的。有的小伙伴經(jīng)常抱怨說：作為“表哥”、“表姐”的他們，天天和數(shù)據(jù)打交道 ，昏天黑地處理數(shù)據(jù)，不是在統(tǒng)計數(shù)據(jù)就是在統(tǒng)計數(shù)據(jù)的路上。他們也經(jīng)常自嘲：要是你聯(lián)系不上我，就說明我深深地陷在統(tǒng)計的腦海里。
其實，如果你熟練地掌握一些統(tǒng)計類函數(shù)，就不用那么辛苦了。今天我們就來說說常見的統(tǒng)計函數(shù)應(yīng)用技巧。
統(tǒng)計類函數(shù)是Excel中使用頻率最高的函數(shù)，絕大多數(shù)報表都離不開它們，從簡單的計數(shù)與求和，到多區(qū)域中多種條件下的計數(shù)與求和，此類函數(shù)總是能幫助我們解決很多大問題。
根據(jù)函數(shù)的功能，主要可將統(tǒng)計函數(shù)分為數(shù)理統(tǒng)計函數(shù)、分布趨勢函數(shù)、線性擬合和預(yù)測函數(shù)、假設(shè)檢驗函數(shù)和排位函數(shù)。
由于篇幅有限，今天我們主要來看一看最常用和最有代表性的一些函數(shù)。
COUNTA函數(shù)用于計算區(qū)域中所有不為空的單元格個數(shù)。
語法結(jié)構(gòu)：COUNTA (value1,[value2],...)
參數(shù)：
value1：必需參數(shù)，表示要計數(shù)的第一個參數(shù)。
value2,...：可選參數(shù)，表示要計數(shù)的其他參數(shù)，最多可包含255 個參數(shù)。
案例：
要在員工獎金表中統(tǒng)計出獲獎人數(shù)，因為沒有獎金人員對應(yīng)的單元格為空，有獎金人員對應(yīng)的單元格為獲得的具體獎金額，所以可以通過COUNTA函數(shù)統(tǒng)計相應(yīng)列中的非空單元格個數(shù)來得到獲獎人數(shù)，具體操作步驟如下：
打開素材文件\員工獎金表.xlsx，在A21單元格中輸入相應(yīng)的文本，在B21單元格中輸入公式【=COUNTA(D2:D19)】，返回結(jié)果為【14】，即統(tǒng)計到該單元格區(qū)域中有14個單元格非空，也就是說有14人獲獎。
COUNTBLANK函數(shù)用于計算指定單元格區(qū)域中空白單元格的個數(shù)。
語法結(jié)構(gòu)：COUNTBLANK(range)
參數(shù)：
range：必需參數(shù)，表示需要計算其中空白單元格個數(shù)的區(qū)域。
案例：要在上例中統(tǒng)計出沒有獲獎的人數(shù)，除了可以使用減法從總?cè)藬?shù)中減去獲獎人數(shù)外，還可以使用COUNTBLANK函數(shù)進行統(tǒng)計，具體操作步驟如下：
在A22單元格中輸入相應(yīng)的文本，在B22單元格中輸入公式【=COUNTBLANK(D2:D19)】，返回結(jié)果為【4】，即統(tǒng)計到該單元格區(qū)域中有4個空單元格，也就是說有4人沒有獎金。
COUNTIF函數(shù)用于對單元格區(qū)域中滿足單個指定條件的單元格進行計數(shù)。
語法結(jié)構(gòu)：COUNTIF (range,criteria)，也可以簡單理解為COUNTIF (條件區(qū)域,條件 )
參數(shù)：
range：必需參數(shù)，表示要對其進行計數(shù)的一個或多個單元格，其中包括數(shù)字或名稱、數(shù)組或包含數(shù)字的引用。空值和文本值將被忽略。
criteria：必需參數(shù)，表示統(tǒng)計的條件，可以是數(shù)字、表達式、單元格引用或文本字符串。
案例：在招聘統(tǒng)計表中要對各招聘渠道參加面試的人數(shù)進行統(tǒng)計，就需要使用 COUNTIF 函數(shù)，具體操作步驟如下：
Step01 引用其他工作表。打開素材文件\招聘統(tǒng)計表.xlsx，在【招聘渠道統(tǒng)計表】工作表中的B2單元格中輸入公式【=COUNTIF()】，將光標定位到公式括號中，單擊【應(yīng)聘人員信息表】工作表標簽。
Step02 選擇引用范圍。切換到【應(yīng)聘人員信息表】工作表中，拖動鼠標選擇B2:B135單元格區(qū)域，在公式中輸入【,】。
Step03 完成公式的輸入。切換到【招聘渠道統(tǒng)計表】工作表中，選擇A2單元格，完成公式【=COUNTIF( 應(yīng)聘人員信息表 !B2:B135, 招聘渠道統(tǒng)計表 !A2)】的輸入。
Step04 計算出面試人員的人數(shù)。按【Enter】鍵計算出招聘網(wǎng)站1渠道參加面試的人員數(shù)量，向下復(fù)制公式，計算出其他招聘渠道參加面試的人數(shù)。
COUNTIFS函數(shù)用于計算單元格區(qū)域中滿足多個條件的單元格數(shù)量。
語法結(jié)構(gòu)：COUNTIFS(criteria_range1,criteria1,[criteria_range2, criteria2],...)， 也可以簡單理解為COUNTIFS ( 條件匹配查詢區(qū)域1, 條件1, 條件匹配查詢區(qū)域2, 條件2, 依此類推）
參數(shù)：
criteria_range1：必需參數(shù)，在其中計算關(guān)聯(lián)條件的第一個區(qū)域。
criteria1：必需參數(shù)，條件的形式為數(shù)字、表達式、單元格引用或文本，可用來定義將對哪些單元格進行計數(shù)。
criteria_range2,criteria2,...：可選參數(shù)，附加的區(qū)域及其關(guān)聯(lián)條件，最多允許127個區(qū)域 /條件對。
案例：繼續(xù)上例的操作，使用COUNTIFS函數(shù)對各渠道錄用的人數(shù)和實際到崗人數(shù)進行統(tǒng)計，具體操作步驟如下：
Step01 在C2單元格中輸入公式【=COUNTIFS(應(yīng)聘人員信息表!$B:$B5,A2, 應(yīng)聘人員信息表 !$H: $H5,">0")】，按【Enter】鍵計算出招聘網(wǎng)站1錄用的人數(shù)。
Step02 在D2單元格中輸入公式【=COUNTIFS( 應(yīng)聘人員信息表 !$B:$B5,A2, 應(yīng)聘人員信息表 !$I: $I5,">0")】， 按【Enter】 鍵計算出招聘網(wǎng)站1實際到崗人數(shù)。
Step03 使用Excel自動填充功能，復(fù)制C2和D2單元格中的公式，計算出其他招聘渠道的錄用人數(shù)和實際到崗人數(shù)。
AVERAGEA函數(shù)與AVERAGE函數(shù)的功能類似，都是計算數(shù)值的平均值， 只是AVERAGE函 數(shù)計算包含數(shù)值單元格的平均值，而AVERAGEA 函數(shù)則用于計算參數(shù)列表中所有非空單元格的平均值（即算術(shù)平均值）。
語法結(jié)構(gòu)：AVERAGEA (value1,[value2],...)
參數(shù)：
value1：必需參數(shù)，表示需要計算平均值的第一個單元格、單元格區(qū)域或值。
value2,...：可選參數(shù)，表示計算平均值的第2～255個單元格、單元格區(qū)域或值。
案例：要在員工獎金表中統(tǒng)計出該公司員工領(lǐng)取獎金的平均值，可以使用AVERAGE和AVERAGEA函數(shù)進行兩種不同方式的計算，具體操作步驟如下：
Step01 計算所有員工的獎金平均值。打開文件 \ 員工獎金表.xlsx，復(fù)制Sheet1工作表，在D列中數(shù)據(jù)區(qū)域部分的空白單元格中輸入非數(shù)值型數(shù)據(jù)，這里輸入文本型數(shù)據(jù)【無】，在A21單元格中輸入文本【所有員工的獎金平均值：】，在C21單元格中輸入公式【=AVERAGEA(D2:D19)】， 計 算出所有員工的獎金平均值約為287。
Step02 計算所有獲獎員工的獎金平均值。在A22單元格中輸入文本【所有獲獎員工的獎金平均值：】，在C22單元格中輸入公式【=AVERAGE(D2:D19)】，計算出所有獲獎員工的獎金平均值為369。