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今天是二十四節氣的芒種，仲夏時節的開始，天氣也日趨炎熱起來，但是不管天氣怎么炎熱，學習還是要踏踏實實，認認真真。
好，繼續分享導數定義小結論，今天我要分享的內容是絕對值函數的處理手段。
不知道你做題有沒有這樣的感覺，一看見絕對值函數，那心里真的是萬馬奔騰，一方面感慨自己為什么運氣這么不好，趕上了絕對值函數，一方面大呼出題老頭之狡詐，反正一遇到絕對值，就立即推，放棄本題。
關于絕對值函數，這個可以說是遍及了我這個專欄，不知道你還記不記得怎樣確定函數在該點是不是可導，上周我在講函數七宗罪的時候，有一個叫做左右極限的專題，我特意提到了絕對值函數，那么本周，到了導數定義，絕對值函數依然活躍，包括以后的積分，絕對值也會出現，絕對值函數絕對算得上是高等數學里最活躍的角色之一了。
好了，關于絕對值函數的可導性又有哪些好用的小結論呢？
（1）設函數f(x)在點x0可導，當f(x0)≠0時，| f(x)|在點x0處可導.
（2）設函數f(x)在點x0可導，當f(x0)=0時,有兩種情況：
1.若f’(x0)=0，則| f(x)|在點x0處可導，且| f(x)|’|x=x0=0；
2.若f’(x0)≠0，則| f(x)|在點x0處不可導
這個是絕對值函數可導性的基礎小結論，只是單獨看f(x)和| f(x)|之間關系，那么具體做題的時候怎么操作呢？驗證兩個東西，一個是f(x0)是否等于零，一個是f’(x0)是否等于零，請注意，這兩個是有先后關系的，下面我畫一張流程圖，來給你具體解釋一下這個小結論的用法。
下面來看題咯：
設f (x)在點x=a處可導，則函數|f(x)|在x=a處不可導的充分條件是
A.f(a)=0且f’(a)=0 B. f (a)=0且f’(a)≠0
C.f (a)>0且f’(a)>0D.f (a)且f’(a)
那么有了小結論，立即推B，接下來我講一講常規做法：
常規做法，首先這道題只有一個條件：“設f (x)在點x=a處可導”，既然只有這一個條件，那我別無選擇，只能圍繞著這個條件進行處理，那么既然已知可導怎樣確定函數在該點是不是可導，而我手里關于求導的工具只有導數定義，所以我就先列出導數定義再說：（注意我的思考過程，做題時候要學會往這個方向想）
而我們待求的導數，由于是絕對值函數，因此需要計算左右導數，先令一個φ(x)= |f(x)|:
先看A和B，加了一個條件f (a)=0，那么我就可以進一步處理上面的三個式子：
答案是不是很明顯了，如果想讓左右極限不相等，那么上面的f’(a)一定不能等于0，如果f’(a)等于零了，那么下面的左右極限將會都等于零，進而二者相等，這樣的話，絕對值函數在a點就可導了。
再來看C和D，因為f (a)>0，那么由極限的保號性：在a的鄰域內f (x)>0
f (a)也成立，可以自己證一下，所以最終答案就是B選項，而剛才的常規做法，就是我的小結論的證明過程。
因此，如果不記小結論，那么就只好通過一個個地去驗證選項來判斷了，做題效率會大大降低，順便提一句，本題是2000年的真題。
今日思考題：（1995數學一）