1．歸納推理和類比推理都是合情推理，歸納推理是由特殊到一般，由部分到整體的推理；類比推理是由特殊到特殊的推理．二者都能由已知推測未知，都能用于猜測，得出新規律，但推理的結論其正確性有待于去證明． 2．演繹推理與合情推理不同，演繹推理是由一般到特殊的推理推理與證明只要是格式，是數學證明中的基本推理形式，只要前提正確，推理形式正確，得到的結論就正確． 3．合情推理與演繹推理既有聯系，又有區別，它們相輔相成，前者為人們探索未知提出猜想提供科學的方法，后者為人們證明猜想的正確性提供科學的推理依據． 4．綜合法、分析法、反證法都是數學證明的基本方法．綜合法常用于由已知出發進行推理較易找到思路的問題；分析法常用于條件復雜，思考方向不明確的問題，但單純用分析法證明的情形較少，通常是“分析找思路，綜合寫過程”；分析法的證明過程充分體現了轉化的思想．而反證法則是正難則反思想的體現．另外用反證法證題時，原命題的反面不止一種情形時，要注意分類討論． 1．進行類比推理時，可以從①問題的外在結構特征，②圖形的性質或維數．③處理一類問題的方法．④事物的相似性質等入手進行類比．要盡量從本質上去類比，不要被表面現象迷惑，否則，只抓住一點表面的相似甚至假象就去類比，就會犯機械類比的錯誤． 2．進行歸納推理時，要把作為歸納基礎的條件變形為有規律的統一的形式，以便于作出歸納猜想． 3．推理證明過程敘述要完整、嚴謹、邏輯關系清晰、不跳步． 4．注意區分演繹推理和合情推理，當前提為真時，前者結論一定為真，后者結論可能為真！ 合情推理得到的結論其正確性需要進一步推證，合情推理中運用猜想時要有依據． 5．用反證法證明數學命題時，必須把反設作為推理依據．書寫證明過程時，一定要注意不能把“假設”誤寫為“設”，還要注意一些常見用語的否定形式． 6．分析法的過程僅需要尋求某結論成立的充分條件即可，而不是充要條件． 分析法是逆推證明，故在利用分析法證明問題時應注意邏輯性與規范性．一般地，用分析法書寫解題步驟的基本格式是： 要證：……，只需證……，只需證……， ……，……顯然成立，所以……成立． [答案]C [解析]x1＝f(x0)＝f(5)＝2， x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，數列{xn}是周期為4的數列，所以x2015＝x3＝4，故應選C． [答案]a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c) 求證：當一個圓和一個正方形的周長相等時，圓的面積比正方形的面積大． 如圖所示，S為△ABC所在平面外一點，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．求證：AB⊥BC．[分析]有面面垂直關系時，證明線線垂直，顯然應考慮到用面面垂直的有關性質． [證明]作AE⊥SB于E∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB， ∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥BC． ∵SA⊥平面ABC，又∵BC?平面ABC，∴SA⊥BC， 又∵SA∩AE＝A，∴BC⊥平面SAB． ∴AB⊥BC． 如圖，四面體P－ABC中，∠ABC＝90°，PA＝PB＝PC，D是AC的中點，求證：PD⊥平面ABC． [證明]連接BD，∵BD是Rt△ABC斜邊的中線， ∴DA＝DB＝DC．又PA＝PB＝PC，而PD是△PAD、△PBD、△PCD的公共邊， ∴△PAD≌△PBD≌△PCD． 于是∠PDA＝∠PDB＝∠PDC， ∴∠PDA＝∠PDC＝90°，∴∠PDB＝90°。
∴PD⊥AC，PD⊥BD．又AC∩BD＝D， ∴PD⊥平面ABC． 已知f(x)＝x2＋px＋q。 (1)求證：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2。 如圖所示，在△ABC中，AB>AC，AD為BC邊上的高，AM是BC邊上的中線，求證：點M不在線段CD上． [答案]C [解析]上述推理過程中，第一步、第三步是錯誤的，忽視了不等式性質成立的條件． [答案]A [解析]該題通過觀察前幾個特殊式子的特點，通過歸納推理得出一般規律，寫出結果即可． 4．如圖，已知命題：若矩形ABCD的對角線BD與邊AB和BC所成的角分別為α，β推理與證明只要是格式，則cos2α＋cos2β＝1，則在長方體ABCD－中，可寫出類似的命題： [答案]長方體ABCD－中，若對角線BD1與棱AB、BB1、BC所成的角分別為α、β、γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1或sin2α＋sin2β＋sin2γ＝2 (或：長方體ABCD－中，若對角線BD1與平面ABCD、、所成的角分別為α、β、γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2或sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1)． [證明]假設點M在線段CD上，則BDAC矛盾，故假設錯誤．所以點M不在線段CD上． 自 主 演 練 第三章章末歸納總結 成才之路 · 高中新課程 · 學習指導 · 北師大版 · 數學 · 選修1-2 第三章推理與證明 成才之路 · 高中新課程 · 學習指導 · 北師大版 · 數學 · 選修1-2 成才之路 · 數學 路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索 北師大版 · 選修1-2 推理與證明 第三章 章末歸納總結 第三章 知 識 結 構 2 誤 區 警 示 3 題 型 探 究 4 自 主 演 練 5 知 識 梳 理 1 知 識 梳 理 知 識 結 構 誤 區 警 示 題 型 探 究 歸納推理 類比推理 分析法 綜合法 反證法 * * 第三章章末歸納總結 成才之路 · 高中新課程 · 學習指導 · 北師大版 · 數學 · 選修1-2 第三章推理與證明 成才之路 · 高中新課程 · 學習指導 · 北師大版 · 數學 · 選修1-2