說起圓周率π，很多人就想到祖沖之老爺子的割圓術(shù)。
說實(shí)話，祖大人也挺無奈的，從我們小學(xué)就開始割圓，一直割到大學(xué)還在割。
但割圓術(shù)只適合手算，如何用電腦算π呢？
泰勒展開在科學(xué)計(jì)算中簡(jiǎn)直有著匪夷所思的變態(tài)威力。
之前我有一篇文章泰勒為何要展開？ 泰勒公式有什么神奇作用？介紹了什么是泰勒展開，它可以把復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)換成加減乘除，比如sinx：
之所以要展開，是因?yàn)橥ㄓ糜?jì)算機(jī)本質(zhì)上只能計(jì)算加減乘除。
首先想到的思路就是，反三角函數(shù)，根據(jù)定義有：
那么，接下來的問題就是，
如何計(jì)算arctan(1)
有人說，直接調(diào)用C語言庫(kù)函數(shù)atan(double,double)不就行了。
確實(shí)，這可以完成計(jì)算，然而，這是一種令人不齒的開掛行為，就好像我問怎么跑完馬拉松，你說你開車一溜煙就跑完了一樣。
庫(kù)函數(shù)是別人寫好的，我們現(xiàn)在是思索如何實(shí)現(xiàn)計(jì)算，而不是考慮如何調(diào)用。
至此，我們只好請(qǐng)出祖?zhèn)髋浞剑補(bǔ)rctan(x)進(jìn)行泰勒展開：
然后，令x=1，得到：
格雷戈里-萊布尼茨公式
它被稱為萊布尼茨級(jí)數(shù)，也被稱為格雷戈里-萊布尼茨級(jí)數(shù)，用以紀(jì)念萊布尼茨同時(shí)代的天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家詹姆斯·格雷戈里。
看起來很吊是不是······
但是啊但是，還不夠吊，因?yàn)閱栴}還沒完：
這個(gè)級(jí)數(shù)收斂極慢。
比如，算到+4/9，也就是前五項(xiàng)，結(jié)果僅為3.3396，誤差有0.2之多。
它要到算500000項(xiàng)之后，才會(huì)精確到小數(shù)點(diǎn)后五位：
就算電腦也算得太累了。
何況萊布尼茲（1646年7月1日－1716年11月14日）當(dāng)年是沒有電腦的！
于是，人們嘗試改進(jìn)，希望能快點(diǎn)計(jì)算。
英國(guó)數(shù)學(xué)家梅欽在1706年用上面的級(jí)數(shù)，發(fā)掘了一個(gè)可以快速收斂的公式：
配合上面arctan(x)泰勒展開，梅欽依據(jù)此公式（沒有電腦），把圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后一百多位。
英國(guó)數(shù)學(xué)家威廉·謝克斯花15年的時(shí)間以此計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后707位，不過在第528位時(shí)出錯(cuò)，因此后面的都不正確了。
微微杯具就是了。
現(xiàn)代有了電腦，我們希望更快的收斂速度，因此科學(xué)家在尋找新的級(jí)數(shù)。
歷史總是留給吊人的，也總是會(huì)生產(chǎn)一些吊人的。
比如：
拉馬努金公式
這玩意被稱為拉馬努金公式，是印度科學(xué)家拉馬努金發(fā)明的。
第一位用拉馬努金公式計(jì)算π并取得進(jìn)展的是比爾·高斯珀，他在1985年計(jì)算了小數(shù)點(diǎn)后一千七百萬位。
收斂再快一點(diǎn)？還有楚德諾夫斯基公式：
楚德諾夫斯基公式
楚德諾夫斯基兄弟于1989年算得π小數(shù)點(diǎn)后10億（10?）位，法布里斯·貝拉于2009年算得2.7千億（2.7×1012）位，亞歷山大·易和近藤滋在2011年算得一萬億（1013）位。
意不意外，驚不驚喜，
無不無聊······
在實(shí)際運(yùn)用中π 需要多少位精度才足夠？# #尋找熱愛表達(dá)的你# 在工程領(lǐng)域，π的精度需求通常遠(yuǎn)不如理論研究中那樣高。大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中，π的小數(shù)點(diǎn)后幾位就已經(jīng)足夠精確。例如，在航天工程中，π取到小數(shù)點(diǎn)后15位就足以滿足星際探測(cè)器軌道計(jì)算的精度要求，實(shí)際上誤差僅在厘米級(jí)別，這對(duì)于宏觀的太空距離來說微不足道。一般工程計(jì)算，如建筑、機(jī)械設(shè)計(jì)或電子工程，使用π的小數(shù)點(diǎn)后8位就已經(jīng)很精確，因?yàn)楦叩木韧粫?huì)帶來實(shí)質(zhì)性的改進(jìn)，反而會(huì)增加計(jì)算負(fù)擔(dān)。
在更廣泛的工業(yè)和科學(xué)應(yīng)用中，即使是在處理非常精確的測(cè)量，如精密儀器制造或光學(xué)設(shè)計(jì)，π的精度也很少需要超過小數(shù)點(diǎn)后十幾位。這是因?yàn)閷?shí)際測(cè)量的精度和制造公差通常限制了對(duì)π更高精度的需求。
計(jì)算機(jī)科學(xué)中，π的存儲(chǔ)通常遵循IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)，單精度浮點(diǎn)數(shù)提供約7位有效數(shù)字，而雙精度浮點(diǎn)數(shù)提供15到16位有效數(shù)字，這已經(jīng)覆蓋了絕大多數(shù)工程計(jì)算的需要。
因此，盡管理論上π可以被計(jì)算到數(shù)萬億位，但在實(shí)際工程實(shí)踐中，很少有情況需要超過小數(shù)點(diǎn)后幾十位的精度。不過計(jì)算π到數(shù)萬億位在日常應(yīng)用中看似沒有必要，但其背后的意義和用途是多方面的：
1. 技術(shù)驗(yàn)證與性能測(cè)試：超精確的π計(jì)算是檢驗(yàn)超級(jí)計(jì)算機(jī)性能的絕佳工具。它要求計(jì)算機(jī)處理大量數(shù)據(jù)，對(duì)處理器速度、內(nèi)存管理、并行計(jì)算能力等都是極大的考驗(yàn)。
2. 數(shù)學(xué)研究：π的計(jì)算推動(dòng)了數(shù)學(xué)算法的發(fā)展，尤其是在數(shù)值分析和并行計(jì)算領(lǐng)域。尋找更高效的計(jì)算方法促進(jìn)了數(shù)學(xué)理論的進(jìn)步。
3. 科學(xué)探索：盡管日常應(yīng)用不需要如此高精度的π，但在某些極端科學(xué)實(shí)驗(yàn)或理論物理模型中，更高的精度可能有助于驗(yàn)證理論的準(zhǔn)確性，尤其是在量子物理和宇宙學(xué)的邊緣領(lǐng)域。
4. 密碼學(xué)應(yīng)用：π的無規(guī)律性使其在理論上可以作為生成隨機(jī)數(shù)的基礎(chǔ)，雖然實(shí)際密碼學(xué)應(yīng)用通常使用更專門的算法，但其無限不循環(huán)的特性啟發(fā)了加密技術(shù)的發(fā)展。
5. 哲學(xué)與宇宙學(xué)思考：探索π的極限挑戰(zhàn)人類對(duì)宇宙和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，有人認(rèn)為π的無限性可能隱藏著宇宙的深層秘密，盡管這更多是哲學(xué)上的探討。
6. 教育與激勵(lì)：π的計(jì)算激發(fā)了公眾對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，尤其是對(duì)年輕一代的科學(xué)教育，展示了數(shù)學(xué)的美麗和挑戰(zhàn)極限的精神。
7. 理論極限的探索：盡管目前知道π是一個(gè)超越數(shù)，意味著它不能是任何代數(shù)方程的解，但深入計(jì)算π可以進(jìn)一步驗(yàn)證這一理論，并探索數(shù)學(xué)中的未知領(lǐng)域。
8. 數(shù)據(jù)存儲(chǔ)與編碼：理論上，π的無限序列可以用來編碼大量信息，雖然這不是當(dāng)前的主流實(shí)踐，但這種可能性激發(fā)了對(duì)信息存儲(chǔ)新方式的想象。
9. 純科學(xué)研究的象征：追求π的高精度體現(xiàn)了人類對(duì)知識(shí)無盡的追求，即使實(shí)際應(yīng)用有限，這種探索精神本身對(duì)科學(xué)文化有著重要價(jià)值。
綜上所述，盡管直接的實(shí)用價(jià)值有限，π的高精度計(jì)算在科學(xué)探索、技術(shù)發(fā)展和理論研究中扮演著象征性和推動(dòng)性的角色，反映了人類對(duì)知識(shí)極限的不懈追求。
小圓之圓于大圓之圓同”——《墨子·大取》
π是我們熟悉的數(shù)學(xué)符號(hào)，最早人們都是用“周三徑一”，認(rèn)為π=3，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們更加精確的計(jì)算出了π的值。
重所周知，阿基米德與劉徽是計(jì)算π精確近似值的幾何方法的開創(chuàng)者。祖沖之將圓周率精確到了7位，領(lǐng)先了世界近千年。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，現(xiàn)代人們用計(jì)算機(jī)已經(jīng)精確萬億位以上了。
（祖沖之 圖片源自百度）
圓周率的名稱
1.“山克斯率”（英國(guó)數(shù)學(xué)家威廉·山克斯，在1873計(jì)算出了π的708位。）
（阿基米德 圖片源自百度）
3.“阿基米德率”（或“阿氏率”，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德率先將π計(jì)算到3.14，是后人為了紀(jì)念所起。）
5.“歆率”（漢代數(shù)學(xué)家劉歆制作圓柱容器得到的圓周率，比古率3更精準(zhǔn)一些的π值。）
6.“衡率”（東漢杰出科學(xué)家張衡在《靈憲》中記載了他對(duì)π的取值。）
（劉徽左 張衡右 圖片源自百度）
7.“徽率”（劉徽用他的割圓術(shù)將π計(jì)算到3.1416）
8.“祖率”（專指祖沖之的密率355/113）
還有承天率、蕃率、智率、陸績(jī)率、約率等等......
1706年英國(guó)數(shù)學(xué)家威廉·瓊斯（William Jones，1675—1749）最先使用“π”來表示圓周率。
大數(shù)學(xué)家歐拉開始用
表示圓周率后。
便成了圓周率的代名詞。
（歐拉 圖片源自百度）
課本中的π：
先來看看“圓周長(zhǎng)”，小學(xué)課本中是如何測(cè)量的
測(cè)量了圍成圓曲線的長(zhǎng)度，代替求圓的長(zhǎng)度。用尺子總會(huì)有誤差，怎樣更精確的計(jì)算呢？
在初中的課本中告訴我們，當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，它的周長(zhǎng)就接近圓的周長(zhǎng)。
以D為直徑作圓，周長(zhǎng)為C，內(nèi)接正多變形的邊長(zhǎng)與周長(zhǎng)記為an、bn。
D'為直徑作它的同心圓，周長(zhǎng)為C'。內(nèi)接正多變形的邊長(zhǎng)與周長(zhǎng)記為a'n, b'n。易知兩個(gè)內(nèi)接正n邊形相似。所以
an：a'n=D/2 : D'/2
即
an：D/2=a'n: D'/2
因此
bn:D=b'n:D'
兩邊取極限后（n→∞），
C:D=C':D'。
這說明C/D是一個(gè)常數(shù)，記為π，任何圓的周長(zhǎng)和直徑的比都是同一個(gè)常數(shù)π。
阿基米德從單位圓出發(fā)，先用內(nèi)接正六邊形求出圓周率的下界為3，再用外接正六邊形并借助勾股定理求出圓周率的上界小于4。
為了方便理解理解，我們對(duì)直徑為1的圓，作內(nèi)接正四邊形舉例，
此時(shí)，外接四邊形周長(zhǎng)為
1×4=4
內(nèi)接四邊形的周長(zhǎng)約為
0.7×4=2.8
這樣我們能推理出π在2.8到4之間，直到內(nèi)接正96邊形和外接正96邊形為止。阿基米德求出圓周率在為223/71和22/7之間，并取它們的平均值3.141851為圓周率的近似值。
π 的記憶
關(guān)于記憶π的值，人們想出了各種有意思的記法。例如，
山巔一寺一壺酒（3.14159）；
爾樂苦煞吾（26535）；
把酒吃（897）；
酒殺爾（932）；
殺不死（384）；
遛爾遛死（6264）
扇扇刮（338）；
扇耳吃酒（3279）。
π的趣事還有很多，下次π節(jié)我們?cè)诶^續(xù)介紹。