如我們以前所介紹的，四年多來數(shù)學教育技術(shù)討論班系統(tǒng)地研究了現(xiàn)行中學數(shù)學統(tǒng)編教科書，從頭到尾過了至少兩遍，參看了人教版、北師大版等各種版本，并及時跟進新版。原本計劃最終給出一個系統(tǒng)的研究報告,但現(xiàn)在看來這樣一個報告沒有人能有耐心讀下來，因為問題太多了。哪里有嚴重的問題? 如果反過來問“哪里沒有嚴重的問題”倒還容易回答些。
因此,本文采用魯迅寫《馬上日記》的方式，僅摘取幾個“精彩”片段供大家欣賞。
例0.小學教科書的內(nèi)容
初中數(shù)學課本中的一些課題如圖形認識初步、概率初步等在小學教程中都有,幾乎沒有新內(nèi)容(if at all)，而且也沒有深化，仍是常識性的。還有軸對稱、有效數(shù)字等內(nèi)容也是小學學過的。
還有一些段落像是給低幼兒童寫的，如“數(shù)字1與字母X的對話”。但有時又反過來，例如人教版七年級上冊2.1節(jié)，第一個問題就要求學生自己列出方程，理由是“小學已經(jīng)學過簡單的方程”。
例1.多邊形
人教版七年級下冊中多邊形的定義是“由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形”，華師大版七年級下冊中的定義與此一致電腦計算器怎么算反三角函數(shù)，北師大版八年級上冊、華滬科版八年級下冊中的定義加了“封閉”二字，浙教版八年級下冊中的定義是“邊數(shù)為3的多邊形角三角形，邊數(shù)為4的多邊形叫四邊形.類似地，邊數(shù)為5的多邊形叫五邊形，....邊數(shù)為n 的多邊形叫n 邊形”。不管按哪個定義，下圖是多邊形。
對于這個漏洞，北師大版和浙教版教材中有注釋，指明其教科書中所說的多邊形，都是指凸多邊形，滬科版教材的注釋還定義了凸多邊形的概念，而蘇教版干脆沒有定義直接用多邊形。
在中學教科書中引入凸性，有幾個教師能講，又有幾個學生能聽懂，而且書中關(guān)于一般多邊形的唯一定理是多邊形內(nèi)角和定理，根本不需要凸性。
但人教版中多邊形內(nèi)角的定義是“多邊形相鄰兩邊組成的角，叫做它的內(nèi)角”，這又是一個漏洞。其他版本也沒有正確的定義，而且沒有解釋內(nèi)字的意義。
詳情可參看[Zoul](該文投到《數(shù)學通報》，差點被槍斃，所幸當時是英伯兄做主編。曾多次力挽狂瀾，保繼光任主編后，吾等就再也沒有如此幸運了)。
對于一般的多邊形，要寫好是有難度的，但如果沒有這個能力，起碼可以不寫，總比誤人子弟強，況且這對于一般的中學生并非重要到不可缺少的程度，以往的一些教科書中沒有多邊形內(nèi)角和定理，也未見對于學生的幾何數(shù)字有顯著的不良影響。
例2.全等
人教版八年級上冊第11章中全等的概念是這樣講的:“形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合。能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。”“全等是‘一模一樣’‘完全相等’的意思嗎?”“不考慮圖形的位置時，可以這么理解。”
什么叫“能夠重合”? 若對做法沒有限制，三角形和圓也能“重合”;但若限制不當，全等三角形也不能“重合”。
一個科學的術(shù)語，是有精準的科學意義的,需要一個并不平凡的學習過程才能理解，而不是“自來就懂”的。用非科學的術(shù)語(如“形狀”、“大小”、“能夠重合”、“一模一樣”、“完全相等”、“位置”等) 來解釋科學術(shù)語(如“全等”,只會使學生得到含義模糊似懂非懂的知識，而且對于培養(yǎng)學生嚴格的科學態(tài)度不利甚至有害。
就以“全等”為例，從歐幾里德的《幾何原本》直到1980年代我國的教科書，都是從三角形全等的概念(三對對應(yīng)邊分別相等，三對對應(yīng)角也分別相等) 開始，待把三角形全等講得較透徹了再進一步講四邊形等圖形的全等,再往后才進一步講更一般的圖形的全等(參看[])。大部分人終生只學過三角形全等，這也比什么都不懂強。
近年來我對學生經(jīng)常擔憂的，不是不懂而是自以為懂。
人教版中三角形全等的判定定理是這樣引入的: 通過畫圖“探索”，其實還要將一個三角形剪下來“放到”另一個三角形上(怎么“放”沒有說)。這樣就“得到”判定三角形全等的多個方法了。不過又加上用“角邊角”證明“角角邊”這樣一件多余的事。
就講了這么多,然后就是做習題了。編者仿佛在說: 數(shù)學很簡單，一看就懂，一學就會。全等三角形是初等幾何中的一個重要且不平凡的基本概念，要講好并不容易，而把一般的全等概念講好更是有難度的，對于學術(shù)水平的要求也較高。連三角形全等都沒寫明白，為什么還要寫一般的全等呢? 恐怕主要是源于中國官場的好大喜功和自命不凡之風。
例3.代入
代入”是一個專業(yè)術(shù)語，多數(shù)學生需要較長時間的學習才能夠掌握。而一旦掌握代入的概念,對于以后代數(shù)的學習(如復(fù)合函數(shù)、參數(shù)方程等) 會有很大的促進作用。
老版的教科書(包括民國時代的直到1980年代的)對于代入概念的引入都非常謹慎，先講多項式的值、解方程的代入法，多項式的變元代換等,在此基礎(chǔ)上引入“代入”這一術(shù)語并做充分的解釋。有的教科書甚至避免使用“代入”這一術(shù)語。
但現(xiàn)行統(tǒng)編教科書卻不然，例如人教版七年級上冊2.2節(jié)，在例2中冷不丁地講了多項式化簡然后代入求值，在此之前甚至沒有出現(xiàn)過“代入”這個詞，仿佛這應(yīng)該是學生本來就懂的。蘇教版，滬科版，浙教版，京教版等也都是使用“代入”一詞而沒有釋義(詳見[Maqn1])。
編者們原來就是這樣“避難就易”的。用這樣的教科書講課,真難為中學數(shù)學教師們了。
例4.函數(shù)
函數(shù)的內(nèi)容在現(xiàn)行統(tǒng)編教科書中占相當大的比例。以人教版為例,初中就有三章(第14 章一次函數(shù)，第17 章反比例函數(shù)，第26章二次函數(shù))，實際上第6 章(平面直角坐標系)也與此有關(guān)。由于各章不連貫，每章開始都要復(fù)習，難怪常見學生嫌煩，教師嫌課時不夠。
人教版高中第一冊完全是講函數(shù)(第1章集合與函數(shù)概念,第2章基本初等函數(shù)，第3章函數(shù)的應(yīng)用)，但沒有三角函數(shù)。對各函數(shù)的講法大體上是按照統(tǒng)一的程式:首先通過實例引入;然后做一些說明(但并不給出精確的定義);然后是打點子畫圖;然后是由圖中“看出”一些性質(zhì)(但不講理由);然后就是做題了。
通過實例引入原本是個好方法，但未必適合所有的函數(shù)。硬要教條地對每個函數(shù)都如此講，難免出現(xiàn)牽強或費解的內(nèi)容。例如引入指數(shù)函數(shù)用的例子，有的書上是GDP,有的書上是放射性衰變。
至于打點子畫圖，本來就不是高明的方法，反復(fù)使用更是浪費時間。何況需要用計算器或電腦計算(尤其是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)，既然如此，為何不直接用計算器或電腦畫圖?真是現(xiàn)代版的“鄭人買履”。
早年中學數(shù)學教程中沒有函數(shù)，到民國后期高中才有了一點(占比例很小，這絲毫不妨礙民國時期產(chǎn)生很多杰出的科學家。這種狀況持續(xù)到1980年代。現(xiàn)在的統(tǒng)編教科書雖然有這么多函數(shù)的內(nèi)容，但都是在低水平上多次重復(fù)，再加上內(nèi)容分散，幾乎是碎片化，效率奇低，最終學得仍很膚淺，對于函數(shù)的應(yīng)用更是只知道點皮毛。而況一些基本概念如復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)等都沒有，反三角函數(shù)當然更沒有電腦計算器怎么算反三角函數(shù)，很多地區(qū)甚至不講三角函數(shù)(只有“三角”沒有“函數(shù)”)，所以學微積分時還要補。
我們跟隨英伯兄去歐洲考察中學數(shù)學教育后，分別就英國、法國和以色列的中學數(shù)學教育寫了報告([Li1],[Zhang-Wen1],[])。總體而言，這些國家好的高中，學生的數(shù)學水平約比我國同齡人高3年。那么我國學生耽誤在哪里呢?別的不說,僅函數(shù)就浪費了大約1年的時間(還不算高考復(fù)習)。
如果學生較早(例如初三)學習微積分，在此前不學函數(shù)也沒有關(guān)系，在學習微積分時會系統(tǒng)深入地理解函數(shù)。國外的一些中學,以及我國早期的一些中學(如我當年讀的中學)都有這樣的學生。
順便說，碎片化的問題在幾何中更為嚴重。以人教版為例，初中平面幾何有下列10章: 第3章圖形認識初步，第5章相交線和平行線，第7章三角形，第11章全等三角形，第12章軸對稱，第18章勾股定理，第19章四邊形，第23章旋轉(zhuǎn)，第24章圓，第27章相似。從初一講到初三，課時比早年的教程還多，但水平，從嚴謹性、透徹性、系統(tǒng)性、深入性、邏輯性、幾何直觀、證明、作圖等各方面看，都差遠了。
例5.相似
人教版九年級下冊第27 章中相似的概念是這樣講的:“我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形。”“兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到。”
對比”兩個正三角形，可以看到對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。對于兩個正六邊形也有類似的結(jié)論，“請你自己證明”。“實際上”，“相似多邊形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。反過來，如果兩個多邊形滿足對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊的比相等，那么著兩個多邊形相似。”“對應(yīng)邊的比稱為相似比。”
就講了這么多,然后就是做習題了。這里的毛病和“全等”類似，根源恐怕也一樣，不再重述。
例6.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
在這部分，“公理”和“定理”的區(qū)別沒有界定。在課標中就有四條公理(見[KB]):
公理1: 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。
公理2: 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。
公理3: 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。
公理4: 平行于同一條直線的兩條直線平行。
各版統(tǒng)編教科書中更亂，同一個命題，在一本教科書中稱為公理,在另一本教科書中則可能稱為定理，但稱為定理也不給證明。各教科書中只有少數(shù)例行公事的驗證，沒有實質(zhì)性的證明(參看[])。
從歐幾里德的《幾何原本》直到1980 年代我國的教科書，對于“公理”和“定理”的區(qū)別都有嚴謹?shù)慕缍ā９硎侵苯訌膶嶒灥玫降模患幼C明而采用，應(yīng)盡可能少。僅就上述課標中的公理而言，其中后兩條在老版教科書中都是定理，其中第3 條可換為公理“兩個平面不能只有一個公共點”，第4 條不需要新公理也可推出。在這一點上，課標和各版本統(tǒng)編教科書都沒有科學的嚴謹性。
人教版對各條公理或定埋的講法大體上是按照統(tǒng)一的程式: 先引入一個術(shù)語，然后舉例子，然后說“通過觀察我們看出”或“容易發(fā)現(xiàn)”某現(xiàn)象，然后就“由此得到”某公理或定理，然后就是做題了。
但究竟怎樣“觀察”才能“看出”，書里都沒有說。實際教學中不過是硬灌給學生死記而已。必須指出，空間直線與平面之間的位置關(guān)系恰恰不是能簡單地“觀察”到的，因為人的視覺處理的是二維圖像，而這里涉及的很多對象如二面角、異面直線等都是實質(zhì)上的空間圖形，而況由于視覺經(jīng)過到視網(wǎng)膜的投影，不保持空間直線的平行性。(要想觀察到，需要做不平凡的實驗，我還沒有見到過這方面的教學實驗，如果有人做,對于教學應(yīng)是很有意義的。)
不客氣地說，這部分教程從課標到教材都是在蒙人。
例7.極值
上面的例子都屬于必修內(nèi)容，這個例子屬于選修內(nèi)容中微分部分(在北京屬于高考范圍)。人教版中數(shù)學B 版選修1-1 中如此定義極值:
“設(shè)函數(shù)y= f(x)及其定義域內(nèi)一點x0,對于存在一個包含x0的開區(qū)間內(nèi)的所有點x，如果都有f(x0)＞f(x) (或f(x0)＜f(x)),則稱f(x) 在x=x0處取極小值(或極大值)。”
注意這個定義與我們所讀的數(shù)學分析教科書(無論哪種) 中的定義不同(其中“f(x0)>f(x)或f(x0)0)≥f(x)或f(x0) ≤f(x)”)。編者可能說有權(quán)改變定義,但按這樣的定義,下面的最值判定法(也在人教版中數(shù)學B 版選修1-1中) 就不成立了。
“(1) 求函數(shù)y= f(x) 在(a,b)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)y= f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。”
所有各版本的統(tǒng)編教科書(如有這部分內(nèi)容) 都有同樣的錯誤，而且關(guān)于最值判定法都沒有證明。
有些中學教師發(fā)現(xiàn)了這個問題，但他們沒敢懷疑編者。有人猜想如果要求y= f(x)在任一區(qū)間都不是常數(shù)，那么上述最值判定法還是成立的。然而這也不對，強毅寫了一篇文章([]),其中給出的例子是高階連續(xù)可微函數(shù)，在任一區(qū)間都不是常數(shù)，且極值點的集合中每個點都是極限點。這說明上述教科書的錯誤是本質(zhì)的。這篇文章投到《數(shù)學通報》被斃了，無奈那時己是保繼光當主編。
由于偶然的原因，我們發(fā)現(xiàn)了這些教科書一致的錯誤的來源:工科普遍使用的同濟版微積分教科書。
前年我參加北京市教學名師的評審，候選人中一位高校教師就是像上面那樣講極值，他自己編的教科書中也是這樣寫的。我在討論中指出了這一問題，有評委說可能通用教科書中就有如此錯誤，一查還真是如此。(后來這位候選人還是入選了，因為大多數(shù)評委認為這不是他的錯。)
統(tǒng)編教科書中沒有證明的定理很多，由本例可見編者在不寫證明的時候，沒有一個人自己做過證明,甚至沒有一個人查閱過證明。大多數(shù)中學生所讀的教科書,竟然是在如此不認真的治學態(tài)度下寫的，這實在是現(xiàn)代中學生的大不幸。
還要說兩點，上面這些例子好歹還是應(yīng)有的課程內(nèi)容，而統(tǒng)編教科書中有不少離題很遠甚至根本不屬于數(shù)學的內(nèi)容，要舉這方面的例子得再寫一篇文章; 還有如例6中那樣“通過觀察看出”之類的所謂“探索”也很多,同樣是蒙人，要舉這方面的例子也得再寫一篇文章。
前兩年，圖書出版人老六將民國時期蔡元培主持編寫的課本重印，受到很高的評價，也使得現(xiàn)行統(tǒng)編教科書受到很多詬病。不久前這些老教科書已被上傳到網(wǎng)上，但那都是語文方面的。博士生張楚晗建議將民國時期的數(shù)學教科書也上傳。
我覺得這是很值得做的。很多國人對于現(xiàn)行中學數(shù)學統(tǒng)編教科書還很崇拜，偶爾有人發(fā)現(xiàn)錯誤也往往“自覺”地貶低其嚴重性。我想主要原因是沒見過好的，沒有比較; 次要原因是“歌德派”還很強勢，而領(lǐng)導(dǎo)多半喜歡聽報喜不喜歡聽報憂。
參考文獻
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[] 強毅: 關(guān)于極值定義的思考
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[] 張玉: 立體幾何教學對學生空間想象力培養(yǎng)的研究,首都師范大學碩士論文(2016)
[Zoul] 鄒晴霞: 關(guān)于多邊形的定義，《數(shù)學通報》2012 年第10期.
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