長沙市第一中學曹利國程序設計一直與數學聯系得非常的緊密，特別是像組合數學這一分支，與程序設計有著千絲萬縷的聯系。對于某些題目，我們用正常的做法想法也許無從下手，但是如果我們把題目的全局或者局部與組合數學聯系起來，或許就會“柳暗花明又一村”——找到了一種特別獨特，特別有效率的數學方法，把無從下手的棘手題變得簡單易行。這就是組合數學在程序中的運用。下面使用幾個實例說明組合數學在程序中的運用。數定義：一個凸n邊形通過不相交于n邊形內部的對角線把n邊形拆分成若干三角形的不同拆分數。分析設Cn表示凸n邊形的拆分方案總數。由題目中的要求可知一個凸n邊形的任意一條邊都必然是一個三角形的一條邊，邊P1Pn也不例外，再根據“不在同一直線上的三點可以確定一個三角形”，只要在P2，P3，……，Pn-1點中找一個點Pk(1=0的數列個序列a1a2..ak的元素順序保持不變，按不同結合方式插入合法圓括號對的方案數。(a((bc)d))(a(b(cd)))((ab)(cd))(((ab)c)d)((a(bc))d)一個操作數序列，從1，2，一直到n，棧A的深度大于n?，F在可以進行兩種操作：1．將一個數，從操作數列的頭端移至棧的頭端（對應棧的push操作）2將一個數，從棧的頭端移至輸出序列的尾端（對應棧的pop操作）。
使用這兩種操作，由一個操作數序列就可以得到一系列的輸出序列，下表為的過程。步驟操作數序列你的程序將對給定的n，計算并輸出由操作數序列1，2，……，n經過操作可能得到的輸出序列總數。一棧(普及組第三題)結合定義我們很容易能發現：如果進?？闯?程序設計中的組合數學，出?？闯?，在任何一位上累計的“0”的個數不大于累計的“1”的個數，因為必須在棧里有數的情況下才能向外彈數。原題轉化為——n個1和n個0組成一個2n位的二進制數，要求從左到右掃描，“0”的累計數不大于“1”的累計數，求滿足條件的數有多少。二()將k個車擺在n*n的棋盤上，使得任何兩個車不能互相攻擊（車可以橫著或豎著走無限格，不能走斜線）算法描述組合數學：排列與組合由于題目里的棋子是“車”而不是“后”，所以一個棋子不會影響到與其不同行或與其不同列的棋子。結合n皇后問題的方案表示法，我們很容易想到排列組合。排列的定義：設A={a1,a2,a3……an}是n個不同元素的集合，r滿足0k的情況時的處理。因為每一列最多只能放一顆棋子，所以我們首先把沒有棋子的列去掉，再合并成一個n*k的棋盤，結合剛才的數據結構我們能很快知道在這個新棋盤上擺k個棋子還是P()種方案，再把去掉的(n-k+1)列插入擺棋子的k行中，插入方案總數易得為C(樣一來程序實現起來就方便多了。
錯排問題：n個數，分別為1~n，排成一個長度為n的排列。若每一個數的位置都與數的本身不相等，則稱這個排列是一個錯排。例如，2。編寫程序，求n的錯排個數。三錯排問題（經典問題）組合數學：遞推我們設k個元素的錯位全排列的個數記做：W(k)。四個元素的錯位排列W(4)我們用窮舉法可以找到如下9個：(4，3，2，1)(3，4，1，2)(2，1，4，3)(4，1，2，3)(3，4，2，1)(3，1，4，2)(4，3，1，2)(2，4，1，3)(2，3，4，1)它們有什么規律呢？通過反復的試驗，我們發現事實上有兩種方式產生錯位排列：A.將k與(1，2，?，k－1)的某一個數互換，其他k－2個數進行錯排，這樣可以得到(k－1)W(k-2)個錯位排列。B.另一部分是將前k－1個元素的每一個錯位排列（有W(k-1)個）中的每一個數與k互換，這樣可以得到剩下的(k－1)W(k-1)個錯位排列。根據加法原理程序設計中的組合數學，我們得到求錯位排列的遞推公式W(k):其實視野看得發散一些，擴展一些，能融入程序設計的知識點不僅限于組合數學，還有拓撲學，微積分，計算幾何……甚至是物理，化學。這樣跨學科的融合相信能給信息學計算機這門學科煥發新的光彩。從上述題我們能發現一個共同特點，也就是將組合數學融入題目中，簡單而又快速的解決題目。它說明：程序設計不一定是拿著現成的思路或算法去生搬硬套，也許我們換個角度，換個思路，或者進行數學建模與變換，將組合數學里的一些結論，定理，性質與程序結合起來，達到事半功倍的效果。當然，要熟練的掌握這方面的技能與技巧還是在乎于我們平常的多看多想多練。
