上數學課了，大家坐穩。相信很多小伙伴聽說過，比特幣的密碼叫做私鑰，私鑰一旦丟失，對應的BTC將永遠封存。不存在重置私鑰一說，因此私鑰的保管至關重要。丟失私鑰，是早期BTC持有者常犯的錯誤，因為當時BTC 并沒有今天這么高的法幣標價，因此很多人并不重視。為什么私鑰丟失是致命事件？可以強行破解私鑰么？理論上可以，答案是算到地球滅亡。以今天凌晨最高全網算力紀錄100EH/s來看，也就是每秒進行100*2^60次哈希運算，也就是每秒猜100*2^60次，聽起來很大，但是私鑰的全部可能性是2^256種，假設私鑰呈現均勻分布U（0,2^256），強行破解也要幾億億億億億億年。
如果還不夠直觀，想想如果有360個地球，每個地球上的每一克物質又變成一個新的地球，那這些地球上面的所有水分子就是所有的私鑰。（找是找不到的，這輩子都不可能找到的）那到底是什么加密算法讓比特幣有如此的密碼安全性呢？這就是本篇的硬核內容了。
先看一個方程：
這就是比特幣所使用的方程，用來保護消息摘要的真實性。這種算法叫橢圓曲線算法（ Curve ）。與傳統的基于大質數因子分解困難性的加密方法不同，ECC通過橢圓曲線方程式的性質產生密鑰，是典型的非對稱加密算法，抗暴力求解的能力極強。
插一句，目前我國居民二代身份證正在使用 256 位的橢圓曲線密碼，比特幣也選擇ECC作為加密算法，也就是說比特幣的密碼學安全度是等同于身份證的。比特幣系統不安全性的說法可以退下了。
那么橢圓曲線方程是不是就是一種橢圓方程呢？
不是的，橢圓曲線的形狀并不是橢圓，只是因為橢圓曲線的描述方程，類似于計算一個橢圓周長的方程故得名。
劃重點——基本上來說，橢圓曲線方程是一個齊次方程，曲線上的每個點都必須是非奇異的，也就是光滑的，即各個維度的偏導數不同時為0。具體的標準式我就不貼了，有興趣出門左轉百度維爾斯特拉斯方程（）。為什么橢圓曲線可以用于加密呢？這就要溫習前面所講的，比特幣私鑰可以輕松生成公鑰，而基于公鑰無法反解私鑰的基本常識，而比特幣的私鑰產生公鑰的過程就是基于橢圓曲線來運算的。先看一個栗子——
小明就讀于小學二年級，會計算加法，但是不會計算除法。你是小明的怪蜀黍大強，你想出一道題給他做，讓他雖然能理解題目意思但是做起來有難度：
強：“小明小明，過來，叔叔問你，1+1等于幾？”
明：“叔叔的大學白念了吧，我幼兒園就會了，等于2。”
強：“那考你個難的，7+7等于幾？”
明：“切，你當人家上課啃鉛筆頭，下課幫小紅寫作業都是白干的是吧。手指都不用數，等于14唄。”
強：“行，有叔叔當年的風采，那叔叔再問你，幾個7相加等于56？”
明：“……”，默默掏出草稿紙、鉛筆、手指頭、腳趾頭，進行了10分鐘的深度計算:2個7等于14，3個7等于21，4個7等于28……。“叔叔,我算出來了，是8個，對不對？”
強：“好小子，叔叔就不信考不倒你。幾個7相加等于？” 你心中默念，以小明的計算能力，要算到這個數恐怕得一年半載的。
明：“叔叔好厲害呀，我算不出來。”
這個例子想說明的是基于加法階數難求問題的密碼方案。對于橢圓曲線密碼來講，橢圓曲線的基點就是例子里面的7，而私鑰就是基點的加法階數（例子里面的8），公鑰是基點（7）進行對應階數的加法（8次）得到的結果（56）。具體來看比特幣的例子——以一個隨機生成的私鑰 k（可以理解為一個極大的數）為起點，我們將其與曲線上已定義的生成點 G 相乘以獲得曲線上的另一點，也就是相應的公鑰K。
生成點是標準的一部分，是指比特幣中使用的ECDSA（橢圓曲線數字簽名算法）曲線的參數。
比特幣密鑰的生成點都是相同的：
{K =k * G}其中 k 是私鑰，G是生成點，在該曲線上所得的點 K 是公鑰。因為所有比特幣用戶的生成點是相同的，一個私鑰k 乘以 G 將得到相同的公鑰 K。k 和 K 之間的關系是固定的，但只能單向運算，即從 k 得到 K。為了展示整數點的乘法，我們將使用較為簡單的實數范圍的橢圓曲線。但實際上，橢圓曲線密碼里的加法是建立在“有限域上的二元三次曲線上的點”上坐標加密點是什么意思，組成一個“有限加法循環群”，是離散的。我們的目標是找到生成點 G 的倍數 k*G。也就是將 G相加 k 次。在橢圓曲線中，點的相加等同于從該點畫切線找到與曲線相交的另一點，然后映射到 x 軸。
針對上面這張圖說一下k*G的計算過程，這里我們假定k的值為8。
1.已知橢圓曲線上的一點G，我們做其在曲線上的切線，此時切線與原本的橢圓曲線就會產生一個交點，這個點我們記作-2G，那么與-2G關于x軸對稱的點就是2G了。
2.重復上面的動作，對點2G做切線，使得切線與橢圓曲線相交，交點記為-4G，再取-4G關于x軸的對稱點，就得到了4G。
3.再次重復前面的動作，對點4G做切線，使得切線與橢圓曲線相交，交點記為-8G，再取-8G關于x軸的對稱點，就得到了8G。
這里8G點就是我們所說的公鑰K，點的坐標就是公鑰K的x和y。事實上，這個動作我們可以重復很多很多次，能堅持讀到這里的小伙伴一定想到了，這是阿貝爾群（ Group）：任意取橢圓曲線上兩點P、Q（若P、Q兩點重合，則作P點的切線），作直線交于橢圓曲線的另一點R'，過R'做y軸的平行線交于R坐標加密點是什么意思，定義P+Q=R。這樣，加法的和也在橢圓曲線上，并同樣具備加法的交換律、結合律。
好了，上面的整個過程如果看明白了，我們接著來說為什么通過公鑰K得不到私鑰k。
假定我們現在已知點8G（公鑰K），我們可以反向推出它關于x軸的對稱點-8G。到了這一步我們會發現，想通過-8G反向堆出4G變成了不可能的事情。因為-8G是橢圓曲線上的一個點，在平面上過這個點有無數條直線，這里或許會有一條或者幾條與橢圓曲線相切，但這些切線我們卻無從求得。或許我們可以逐條測試，通過窮舉法找出過點-8G且與橢圓曲線相切的直線，進而得到可能的點4G。但不要忘記，我們只是進行了反向推理的第一步，我們想從4G得到2G也需要同樣的計算量。
如果私鑰是長這個樣子：AEDD那么計算量將是不可想象的。